Obliczanie całki nieoznaczonej z użyciem podstawienia i logarytmu: przykład.

Aby obliczyć tę całkę nieoznaczoną, możemy skorzystać z podstawienia, które uprości nam wyrażenie podcałkowe. Zauważmy, że mianownik naszej funkcji podcałkowej to $2x + 1$, więc naturalnym wyborem będzie podstawienie $$u = 2x + 1$$. Teraz policzymy pochodną tego wyrażenia po $x$, aby znaleźć $du$:

$$u = 2x + 1$$ $$du = 2dx$$

Aby wyrazić $dx$ za pomocą $du$, dzielimy obie strony przez 2:

$$\frac{du}{2} = dx$$

Teraz możemy przepisać całkę z użyciem nowej zmiennej $u$:

$$\int \frac{dx}{2x + 1} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$$

Całka $\int \frac{du}{u}$ jest całką standardową i wynosi $\ln|u| + C$, gdzie $C$ jest stałą całkowania. Teraz podstawiamy z powrotem $$u = 2x + 1$$:

$$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x + 1| + C$$

Ostateczna odpowiedź to:

$$\int \frac{dx}{2x + 1} = \frac{1}{2} \ln|2x + 1| + C$$

gdzie $C$ jest stałą całkowania.