Obliczanie całki nieoznaczonej z użyciem podstawienia i logarytmu: przykład.

Dodano: 17.01.2024 14:07:09

Oblicz całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie

Aby obliczyć tę całkę nieoznaczoną, możemy skorzystać z podstawienia, które uprości nam wyrażenie podcałkowe. Zauważmy, że mianownik naszej funkcji podcałkowej to 2x+12x + 1, więc naturalnym wyborem będzie podstawienie u=2x+1u = 2x + 1. Teraz policzymy pochodną tego wyrażenia po xx, aby znaleźć dudu:

u=2x+1u = 2x + 1 du=2dxdu = 2dx

Aby wyrazić dxdx za pomocą dudu, dzielimy obie strony przez 2:

du2=dx\frac{du}{2} = dx

Teraz możemy przepisać całkę z użyciem nowej zmiennej uu:

dx2x+1=du2u=12duu\int \frac{dx}{2x + 1} = \int \frac{\frac{du}{2}}{u} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}

Całka duu\int \frac{du}{u} jest całką standardową i wynosi lnu+C\ln|u| + C, gdzie CC jest stałą całkowania. Teraz podstawiamy z powrotem u=2x+1u = 2x + 1:

12duu=12lnu+C=12ln2x+1+C\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x + 1| + C

Ostateczna odpowiedź to:

dx2x+1=12ln2x+1+C\int \frac{dx}{2x + 1} = \frac{1}{2} \ln|2x + 1| + C

gdzie CC jest stałą całkowania.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się