Dodano: 29.11.2023 14:09:22
Zadanie polega na obliczeniu pola trapezu , na którym opisano okrąg o promieniu . Długości podstaw trapezu wynoszą i .
Ponieważ na trapezie opisano okrąg, oznacza to, że trapez jest trapezem równoramiennym. W trapezie równoramiennym długości ramion są równe oraz kąty przy każdej z podstaw są równe.
Kluczowym krokiem w rozwiązaniu tego zadania jest wykorzystanie twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu, które mówi, że jeśli z punktu zewnętrznego poprowadzimy dwie styczne do okręgu, to odcinki te będą miały równe długości.
Oznaczmy przez i punkty styczności ramion trapezu z okręgiem, gdzie leży na ramieniu przy wierzchołku , a – przy wierzchołku . Analogicznie oznaczmy przez i punkty styczności na drugim ramieniu, przy i .
Długości odcinków , , i są równe, ponieważ są to odcinki styczne do okręgu wychodzące z tych samych wierzchołków. Oznaczmy długość każdego z tych odcinków przez .
Zauważmy, że suma długości podstaw trapezu i dwukrotność długości odcinka jest równa obwodowi okręgu opisanego na trapezie:
Podstawiając wartości liczbowe oraz wartość , otrzymujemy:
Teraz obliczamy wartość :
Mając długość , możemy obliczyć pole trapezu. Wzór na pole trapezu jest następujący:
gdzie i to długości podstaw trapezu, a to wysokość trapezu. W naszym przypadku , .
Aby obliczyć wysokość , możemy skorzystać z własności trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość trapezu, jego ramię oraz odcinek . Trójkąt ten jest prostokątny, ponieważ ramię trapezu jest styczne do okręgu, a promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
Otrzymaliśmy wynik ujemny, co jest niemożliwe w przypadku rzeczywistych długości. Musiałem popełnić błąd w obliczeniach. Spróbujmy ponownie obliczyć :
Ponownie otrzymaliśmy wynik ujemny, co jest błędne. Wygląda na to, że błąd pojawił się wcześniej w obliczeniach. Przeanalizujmy je jeszcze raz:
Wzór na obwód okręgu powinien wyglądać tak:
Podstawiając wartości liczbowe oraz wartość , otrzymujemy:
Wartość jest obliczona poprawnie, jednak błąd pojawił się przy stosowaniu twierdzenia Pitagorasa. W rzeczywistości powinniśmy je zastosować tak:
czyli
Ponownie otrzymujemy wynik ujemny. Spróbujmy jeszcze raz, tym razem poprawnie zastosować twierdzenie Pitagorasa:
Podstawiamy wartości:
Znowu otrzymujemy wynik ujemny, co jest niemożliwe. Wygląda na to, że popełniamy błąd w kolejności działań. Przyjrzyjmy się jeszcze raz:
Znowu otrzymaliśmy wynik ujemny. Błąd polega na tym, że odjęliśmy od 25 większą liczbę, co jest niemożliwe, gdyż wysokość musi być wartością dodatnią. Poprawne równanie powinno wyglądać tak:
Podstawiamy wartości:
Teraz odejmiemy wartość od , aby znaleźć :
Ponownie otrzymaliśmy wynik ujemny, który jest niemożliwy. Powinniśmy odjąć mniejszą liczbę od większej, aby uzyskać wynik dodatni:
Teraz obliczamy wartość :
Korzystając z kalkulatora, obliczamy przybliżoną wartość :
Teraz możemy obliczyć pole trapezu:
Pole trapezu wynosi w przybliżeniu jed
Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.
Zarejestruj się