Równanie, które mamy rozwiązać, to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można rozwiązać metodą czynników całkujących. Równanie to wygląda następująco:
y′=xy+x2ex2
Najpierw znajdziemy czynnik całkujący, który jest funkcją tylko x. Czynnik całkujący μ(x) dla równania liniowego pierwszego rzędu o postaci y′+p(x)y=q(x) wyraża się wzorem:
μ(x)=e∫p(x)dx
W naszym przypadku p(x)=x, więc:
μ(x)=e∫xdx=e21x2
Teraz pomnóżmy obie strony równania przez czynnik całkujący:
e21x2y′=e21x2xy+e21x2x2ex2
Zauważmy, że lewa strona równania jest teraz pochodną iloczynu e21x2y, co można sprawdzić przez różniczkowanie:
(e21x2y)′=e21x2y′+e21x2xy
Mamy więc:
(e21x2y)′=e21x2x2ex2
Aby uprościć prawą stronę, wykorzystamy fakt, że e21x2ex2=e23x2:
(e21x2y)′=x2e23x2
Teraz całkujemy obie strony równania względem x:
∫(e21x2y)′dx=∫x2e23x2dx
Lewa strona po całkowaniu daje nam e21x2y, a prawa strona wymaga zastosowania metody podstawienia (możemy na przykład ustawić u=23x2, wtedy du=3xdx i dx=3xdu):
e21x2y=31∫ueudu
Całka ∫ueudu jest dość standardową całką i może być rozwiązana metodą całkowania przez części lub poprzez znalezienie w tablicach całek. W obu przypadkach rozwiązanie to:
∫ueudu=ueu−eu+C
Gdzie C jest stałą całkowania. Teraz zastępujemy u z powrotem przez 23x2:
e21x2y=31(23x2e23x2−e23x2)+C
e21x2y=21x2e23x2−31e23x2+C
Teraz dzielimy obie strony przez e21x2:
y=21x2ex2−31ex2+Ce−21x2
To jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego. Stała C może być ustalona, jeśli mamy dodatkowy warunek początkowy lub brzegowy.