Rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu metodą czynników całkujących: $y' = xy + x^2e^{x^2}$

Dodano: 30.11.2023 20:25:14

Rozwiązanie

Równanie, które mamy rozwiązać, to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można rozwiązać metodą czynników całkujących. Równanie to wygląda następująco:

y=xy+x2ex2y' = xy + x^2e^{x^2}

Najpierw znajdziemy czynnik całkujący, który jest funkcją tylko xx. Czynnik całkujący μ(x)\mu(x) dla równania liniowego pierwszego rzędu o postaci y+p(x)y=q(x)y' + p(x)y = q(x) wyraża się wzorem:

μ(x)=ep(x)dx\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}

W naszym przypadku p(x)=xp(x) = x, więc:

μ(x)=exdx=e12x2\mu(x) = e^{\int x \, dx} = e^{\frac{1}{2}x^2}

Teraz pomnóżmy obie strony równania przez czynnik całkujący:

e12x2y=e12x2xy+e12x2x2ex2e^{\frac{1}{2}x^2}y' = e^{\frac{1}{2}x^2}xy + e^{\frac{1}{2}x^2}x^2e^{x^2}

Zauważmy, że lewa strona równania jest teraz pochodną iloczynu e12x2ye^{\frac{1}{2}x^2}y, co można sprawdzić przez różniczkowanie:

(e12x2y)=e12x2y+e12x2xy(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = e^{\frac{1}{2}x^2}y' + e^{\frac{1}{2}x^2}xy

Mamy więc:

(e12x2y)=e12x2x2ex2(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = e^{\frac{1}{2}x^2}x^2e^{x^2}

Aby uprościć prawą stronę, wykorzystamy fakt, że e12x2ex2=e32x2e^{\frac{1}{2}x^2}e^{x^2} = e^{\frac{3}{2}x^2}:

(e12x2y)=x2e32x2(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = x^2e^{\frac{3}{2}x^2}

Teraz całkujemy obie strony równania względem xx:

(e12x2y)dx=x2e32x2dx\int (e^{\frac{1}{2}x^2}y)' \, dx = \int x^2e^{\frac{3}{2}x^2} \, dx

Lewa strona po całkowaniu daje nam e12x2ye^{\frac{1}{2}x^2}y, a prawa strona wymaga zastosowania metody podstawienia (możemy na przykład ustawić u=32x2u=\frac{3}{2}x^2, wtedy du=3xdxdu=3x\,dx i dx=du3xdx=\frac{du}{3x}):

e12x2y=13ueudue^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{3}\int ue^u \, du

Całka ueudu\int ue^u \, du jest dość standardową całką i może być rozwiązana metodą całkowania przez części lub poprzez znalezienie w tablicach całek. W obu przypadkach rozwiązanie to:

ueudu=ueueu+C\int ue^u \, du = ue^u - e^u + C

Gdzie CC jest stałą całkowania. Teraz zastępujemy uu z powrotem przez 32x2\frac{3}{2}x^2:

e12x2y=13(32x2e32x2e32x2)+Ce^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{3}(\frac{3}{2}x^2e^{\frac{3}{2}x^2} - e^{\frac{3}{2}x^2}) + C

e12x2y=12x2e32x213e32x2+Ce^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{2}x^2e^{\frac{3}{2}x^2} - \frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}x^2} + C

Teraz dzielimy obie strony przez e12x2e^{\frac{1}{2}x^2}:

y=12x2ex213ex2+Ce12x2y = \frac{1}{2}x^2e^{x^2} - \frac{1}{3}e^{x^2} + Ce^{-\frac{1}{2}x^2}

To jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego. Stała CC może być ustalona, jeśli mamy dodatkowy warunek początkowy lub brzegowy.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się