Rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu metodą czynników całkujących: $y' = xy + x^2e^{x^2}$

Równanie, które mamy rozwiązać, to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można rozwiązać metodą czynników całkujących. Równanie to wygląda następująco:

$$y' = xy + x^2e^{x^2}$$

Najpierw znajdziemy czynnik całkujący, który jest funkcją tylko $x$. Czynnik całkujący $\mu(x)$ dla równania liniowego pierwszego rzędu o postaci $y' + p(x)y = q(x)$ wyraża się wzorem:

$$\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}$$

W naszym przypadku $p(x) = x$, więc:

$$\mu(x) = e^{\int x \, dx} = e^{\frac{1}{2}x^2}$$

Teraz pomnóżmy obie strony równania przez czynnik całkujący:

$$e^{\frac{1}{2}x^2}y' = e^{\frac{1}{2}x^2}xy + e^{\frac{1}{2}x^2}x^2e^{x^2}$$

Zauważmy, że lewa strona równania jest teraz pochodną iloczynu $e^{\frac{1}{2}x^2}y$, co można sprawdzić przez różniczkowanie:

$$(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = e^{\frac{1}{2}x^2}y' + e^{\frac{1}{2}x^2}xy$$

Mamy więc:

$$(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = e^{\frac{1}{2}x^2}x^2e^{x^2}$$

Aby uprościć prawą stronę, wykorzystamy fakt, że $e^{\frac{1}{2}x^2}e^{x^2} = e^{\frac{3}{2}x^2}$:

$$(e^{\frac{1}{2}x^2}y)' = x^2e^{\frac{3}{2}x^2}$$

Teraz całkujemy obie strony równania względem $x$:

$$\int (e^{\frac{1}{2}x^2}y)' \, dx = \int x^2e^{\frac{3}{2}x^2} \, dx$$

Lewa strona po całkowaniu daje nam $e^{\frac{1}{2}x^2}y$, a prawa strona wymaga zastosowania metody podstawienia (możemy na przykład ustawić $u=\frac{3}{2}x^2$, wtedy $du=3x\,dx$ i $dx=\frac{du}{3x}$):

$$e^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{3}\int ue^u \, du$$

Całka $\int ue^u \, du$ jest dość standardową całką i może być rozwiązana metodą całkowania przez części lub poprzez znalezienie w tablicach całek. W obu przypadkach rozwiązanie to:

$$\int ue^u \, du = ue^u - e^u + C$$

Gdzie $C$ jest stałą całkowania. Teraz zastępujemy $u$ z powrotem przez $\frac{3}{2}x^2$:

$$e^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{3}(\frac{3}{2}x^2e^{\frac{3}{2}x^2} - e^{\frac{3}{2}x^2}) + C$$

$$e^{\frac{1}{2}x^2}y = \frac{1}{2}x^2e^{\frac{3}{2}x^2} - \frac{1}{3}e^{\frac{3}{2}x^2} + C$$

Teraz dzielimy obie strony przez $e^{\frac{1}{2}x^2}$:

$$y = \frac{1}{2}x^2e^{x^2} - \frac{1}{3}e^{x^2} + Ce^{-\frac{1}{2}x^2}$$

To jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego. Stała $C$ może być ustalona, jeśli mamy dodatkowy warunek początkowy lub brzegowy.