"Analiza działania funkcji $F$ i $G$ oraz konwersji między różnymi systemami liczbowymi"

Zadanie 3.1 dotyczy oceny prawdziwości podanych zdań na podstawie definicji dwóch funkcji $F$ i $G$. Aby odpowiedzieć na pytania, musimy zrozumieć, jak działają te funkcje.

Funkcja $F(x)$: $$\begin{aligned} i &\leftarrow x - 2 \\ \text{dopóki } x \mod i \neq 0 \text{ wykonuj} \\ &\quad i \leftarrow i + 1 \\ \text{zwróć } i \end{aligned}$$

Funkcja $G(x)$: $$\begin{aligned} i &\leftarrow x - 1 \\ \text{dopóki } x \mod i \neq 0 \text{ wykonuj} \\ &\quad i \leftarrow i - 1 \\ \text{zwróć } i \end{aligned}$$

Zacznijmy od rozwiązania każdego z podpunktów osobno:

1. $F(2)$ oraz $G(2) = 1$. - Aby obliczyć $F(2)$, zaczynamy od $i = 2 - 2 = 0$. Następnie, w pętli, zwiększamy $i$ o 1, ponieważ $2 \mod 0$ jest niewykonalne (dzielenie przez zero jest niedozwolone), więc $i$ staje się równe 1. Funkcja zwraca $i = 1$, zatem $F(2) = 1$, a nie 2. - Aby obliczyć $G(2)$, zaczynamy od $i = 2 - 1 = 1$. Ponieważ $2 \mod 1 = 0$, pętla się nie wykonuje i funkcja zwraca $i = 1$. Zatem $G(2) = 1$.

   Odpowiedź: Prawdziwe jest zdanie $G(2) = 1$, a zdanie $F(2) = 2$ jest fałszywe.

2. Dla każdej liczby parzystej x wartość $F(x)$ jest parzysta. - Funkcja $F$ zaczyna od wartości $i = x - 2$, która dla parzystego $x$ jest również parzysta. Ponieważ $i$ jest zwiększane o 1 aż do momentu, gdy $x \mod i = 0$, wynik zawsze będzie nieparzysty, gdyż dzielnik parzystej liczby, który jest najbliższy jej wartości, ale mniejszy od niej, jest nieparzysty.

   Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe.

3. Dla każdej liczby parzystej x wartość $G(x)$ jest parzysta. - Funkcja $G$ zaczyna od wartości $i = x - 1$, która dla parzystego $x$ jest nieparzysta. Następnie $i$ jest zmniejszane o 1 aż do momentu, gdy $x \mod i = 0$. Dla liczby parzystej $x$ największym dzielnikiem mniejszym od $x$ jest zawsze liczba parzysta (np. dla $x = 6$, największym dzielnikiem mniejszym od 6 jest 4).

   Odpowiedź: Zdanie jest prawdziwe.

4. Dla każdej liczby x większej od 2 $F(x)$ dzieli liczbę x. - Funkcja $F$ zwraca $i$, które jest pierwszą liczbą większą niż $x - 2$, dla której $x \mod i = 0$. Oznacza to, że $i$ jest dzielnikiem liczby $x$. Jednakże dla liczby pierwszej większej od 2, np. $x = 3$, $F(3)$ będzie równe 1, co nie jest dzielnikiem liczby 3.

   Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe.

Podsumowując, odpowiedzi na podpunkty to: 1. F 2. F 3. P 4. F

Zadanie 3.2 to obliczenia i konwersje między różnymi systemami liczbowymi. Przejdźmy krok po kroku:

1. $A_{5,16} = 245_8$.
   • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować wartość z systemu szesnastkowego na ósemkowy i porównać z daną wartością. $A_{16}$ to $10_{10}$, więc musimy przekonwertować $10_{10}$ na system ósemkowy.
   • Przekształcając $10_{10}$ na system ósemkowy, otrzymujemy $12_8$.
   • Odpowiedź: Nieprawda, $A_{5,16} \neq 245_8$.
2. $A_{5,16} = 10100100_2$.
   • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować $A5_{16}$ na system binarny.
   • $A_{16}$ to $1010_2$ w systemie binarnym, a $5_{16}$ to $0101_2$.
   • Połączone: $A5_{16} = 10100101_2$, a nie $10100100_2$.
   • Odpowiedź: Nieprawda, $A_{5,16} \neq 10100100_2$.
3. $10100100_2 = 221_10$.
   • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować wartość binarną na system dziesiętny.
   • $$10100100_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$$
   • $$= 128 + 0 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 164_{10}$$
   • Odpowiedź: Nieprawda, $10100100_2 \neq 221_{10}$.
4. $221_{10} < 245_{8}$.
   • Musimy porównać te dwie wartości w tym samym systemie liczbowym.
   • Przekonwertujmy $245_{8}$ na system dziesiętny: $2 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 128 + 32 + 5 = 165_{10}$.
   • Porównujemy $221_{10}$ i $165_{10}$. Oczywiście $221_{10}$ jest większe niż $165_{10}$.
   • Odpowiedź: Nieprawda, $221_{10} > 245_{8}$.

Podsumowując, odpowiedzi na podpunkty Zadania 3.2 to: 1. F 2. F 3. F 4. F