"Analiza działania funkcji $F$ i $G$ oraz konwersji między różnymi systemami liczbowymi"

Dodano: 30.11.2023 20:15:02

Rozwiązanie

Zadanie 3.1 dotyczy oceny prawdziwości podanych zdań na podstawie definicji dwóch funkcji FF i GG. Aby odpowiedzieć na pytania, musimy zrozumieć, jak działają te funkcje.

Funkcja F(x)F(x): ix2dopoˊki xmodi0 wykonujii+1zwroˊcˊ i\begin{aligned} i &\leftarrow x - 2 \\ \text{dopóki } x \mod i \neq 0 \text{ wykonuj} \\ &\quad i \leftarrow i + 1 \\ \text{zwróć } i \end{aligned}

Funkcja G(x)G(x): ix1dopoˊki xmodi0 wykonujii1zwroˊcˊ i\begin{aligned} i &\leftarrow x - 1 \\ \text{dopóki } x \mod i \neq 0 \text{ wykonuj} \\ &\quad i \leftarrow i - 1 \\ \text{zwróć } i \end{aligned}

Zacznijmy od rozwiązania każdego z podpunktów osobno:

  1. F(2)F(2) oraz G(2)=1G(2) = 1. - Aby obliczyć F(2)F(2), zaczynamy od i=22=0i = 2 - 2 = 0. Następnie, w pętli, zwiększamy ii o 1, ponieważ 2mod02 \mod 0 jest niewykonalne (dzielenie przez zero jest niedozwolone), więc ii staje się równe 1. Funkcja zwraca i=1i = 1, zatem F(2)=1F(2) = 1, a nie 2. - Aby obliczyć G(2)G(2), zaczynamy od i=21=1i = 2 - 1 = 1. Ponieważ 2mod1=02 \mod 1 = 0, pętla się nie wykonuje i funkcja zwraca i=1i = 1. Zatem G(2)=1G(2) = 1.

    Odpowiedź: Prawdziwe jest zdanie G(2)=1G(2) = 1, a zdanie F(2)=2F(2) = 2 jest fałszywe.

  2. Dla każdej liczby parzystej x wartość F(x)F(x) jest parzysta. - Funkcja FF zaczyna od wartości i=x2i = x - 2, która dla parzystego xx jest również parzysta. Ponieważ ii jest zwiększane o 1 aż do momentu, gdy xmodi=0x \mod i = 0, wynik zawsze będzie nieparzysty, gdyż dzielnik parzystej liczby, który jest najbliższy jej wartości, ale mniejszy od niej, jest nieparzysty.

    Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe.

  3. Dla każdej liczby parzystej x wartość G(x)G(x) jest parzysta. - Funkcja GG zaczyna od wartości i=x1i = x - 1, która dla parzystego xx jest nieparzysta. Następnie ii jest zmniejszane o 1 aż do momentu, gdy xmodi=0x \mod i = 0. Dla liczby parzystej xx największym dzielnikiem mniejszym od xx jest zawsze liczba parzysta (np. dla x=6x = 6, największym dzielnikiem mniejszym od 6 jest 4).

    Odpowiedź: Zdanie jest prawdziwe.

  4. Dla każdej liczby x większej od 2 F(x)F(x) dzieli liczbę x. - Funkcja FF zwraca ii, które jest pierwszą liczbą większą niż x2x - 2, dla której xmodi=0x \mod i = 0. Oznacza to, że ii jest dzielnikiem liczby xx. Jednakże dla liczby pierwszej większej od 2, np. x=3x = 3, F(3)F(3) będzie równe 1, co nie jest dzielnikiem liczby 3.

    Odpowiedź: Zdanie jest fałszywe.

Podsumowując, odpowiedzi na podpunkty to: 1. F 2. F 3. P 4. F

Zadanie 3.2 to obliczenia i konwersje między różnymi systemami liczbowymi. Przejdźmy krok po kroku:

  1. A5,16=2458A_{5,16} = 245_8.
    • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować wartość z systemu szesnastkowego na ósemkowy i porównać z daną wartością. A16A_{16} to 101010_{10}, więc musimy przekonwertować 101010_{10} na system ósemkowy.
    • Przekształcając 101010_{10} na system ósemkowy, otrzymujemy 12812_8.
    • Odpowiedź: Nieprawda, A5,162458A_{5,16} \neq 245_8.
  2. A5,16=101001002A_{5,16} = 10100100_2.
    • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować A516A5_{16} na system binarny.
    • A16A_{16} to 101021010_2 w systemie binarnym, a 5165_{16} to 010120101_2.
    • Połączone: A516=101001012A5_{16} = 10100101_2, a nie 10100100210100100_2.
    • Odpowiedź: Nieprawda, A5,16101001002A_{5,16} \neq 10100100_2.
  3. 101001002=2211010100100_2 = 221_10.
    • Aby to sprawdzić, musimy przekonwertować wartość binarną na system dziesiętny.
    • 101001002=127+026+125+024+023+122+021+02010100100_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0
    • =128+0+32+0+0+4+0+0=16410= 128 + 0 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 164_{10}
    • Odpowiedź: Nieprawda, 1010010022211010100100_2 \neq 221_{10}.
  4. 22110<2458221_{10} < 245_{8}.
    • Musimy porównać te dwie wartości w tym samym systemie liczbowym.
    • Przekonwertujmy 2458245_{8} na system dziesiętny: 282+481+580=128+32+5=165102 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 128 + 32 + 5 = 165_{10}.
    • Porównujemy 22110221_{10} i 16510165_{10}. Oczywiście 22110221_{10} jest większe niż 16510165_{10}.
    • Odpowiedź: Nieprawda, 22110>2458221_{10} > 245_{8}.

Podsumowując, odpowiedzi na podpunkty Zadania 3.2 to: 1. F 2. F 3. F 4. F

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się