Wzór na wariancję próby z dowodem poprawności.

Dodano: 15.01.2024 22:11:21

Rozwiązanie

Ok, rozwiążemy to zadanie krok po kroku.

Zadanie polega na wykazaniu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej aa zachodzi wzór na wariancję próby s2s^2: s2=1ni=1n(xia)2(xˉa)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - a)^2 - (\bar{x} - a)^2 gdzie xˉ\bar{x} to średnia z próby.

Aby to zrobić, zaczniemy od definicji wariancji, która jest określona jako średnia kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od ich średniej: s2=1ni=1n(xixˉ)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

Teraz rozpiszemy kwadrat (xia)2(x_i - a)^2: (xia)2=(xixˉ+xˉa)2=((xixˉ)+(xˉa))2(x_i - a)^2 = (x_i - \bar{x} + \bar{x} - a)^2 = ((x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a))^2

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, mamy: ((xixˉ)+(xˉa))2=(xixˉ)2+2(xixˉ)(xˉa)+(xˉa)2((x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a))^2 = (x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + (\bar{x} - a)^2

Podstawiając to do naszego wzoru na s2s^2, otrzymujemy: s2=1ni=1n[(xixˉ)2+2(xixˉ)(xˉa)+(xˉa)2]s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + (\bar{x} - a)^2]

Teraz rozdzielamy sumowanie na trzy części: s2=1ni=1n(xixˉ)2+1ni=1n2(xixˉ)(xˉa)+1ni=1n(xˉa)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{x} - a)^2

Pierwszy składnik to nasza znana już definicja wariancji. Drugi składnik to dwukrotność iloczynu średniej odchylenia od średniej i stałej (xˉa)(\bar{x} - a), co daje zero, ponieważ suma odchyleń od średniej w próbie zawsze jest równa zero. Trzeci składnik to prostu nn razy stała (xˉa)2(\bar{x} - a)^2 podzielona przez nn, co daje nam (xˉa)2(\bar{x} - a)^2.

Mamy więc: s2=1ni=1n(xixˉ)2+0+(xˉa)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 + 0 + (\bar{x} - a)^2

Skoro drugi składnik to zero, to możemy go pominąć i ostatecznie otrzymujemy: s2=1ni=1n(xixˉ)2(xˉa)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 - (\bar{x} - a)^2

To kończy dowód. Pokazaliśmy, że dla dowolnego aRa \in \mathbb{R} podany wzór na wariancję jest prawidłowy.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się