Wzór na wariancję próby z dowodem poprawności.

Ok, rozwiążemy to zadanie krok po kroku.

Zadanie polega na wykazaniu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi wzór na wariancję próby $s^2$: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - a)^2 - (\bar{x} - a)^2$$ gdzie $\bar{x}$ to średnia z próby.

Aby to zrobić, zaczniemy od definicji wariancji, która jest określona jako średnia kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od ich średniej: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Teraz rozpiszemy kwadrat $(x_i - a)^2$: $$(x_i - a)^2 = (x_i - \bar{x} + \bar{x} - a)^2 = ((x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a))^2$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, mamy: $$((x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a))^2 = (x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + (\bar{x} - a)^2$$

Podstawiając to do naszego wzoru na $s^2$, otrzymujemy: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + (\bar{x} - a)^2]$$

Teraz rozdzielamy sumowanie na trzy części: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - a) + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar{x} - a)^2$$

Pierwszy składnik to nasza znana już definicja wariancji. Drugi składnik to dwukrotność iloczynu średniej odchylenia od średniej i stałej $(\bar{x} - a)$, co daje zero, ponieważ suma odchyleń od średniej w próbie zawsze jest równa zero. Trzeci składnik to prostu $n$ razy stała $(\bar{x} - a)^2$ podzielona przez $n$, co daje nam $(\bar{x} - a)^2$.

Mamy więc: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 + 0 + (\bar{x} - a)^2$$

Skoro drugi składnik to zero, to możemy go pominąć i ostatecznie otrzymujemy: $$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 - (\bar{x} - a)^2$$

To kończy dowód. Pokazaliśmy, że dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$ podany wzór na wariancję jest prawidłowy.