Ok, rozwiążemy to zadanie krok po kroku.
Zadanie polega na wykazaniu, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi wzór na wariancję próby s2:
s2=n1i=1∑n(xi−a)2−(xˉ−a)2
gdzie xˉ to średnia z próby.
Aby to zrobić, zaczniemy od definicji wariancji, która jest określona jako średnia kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od ich średniej:
s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2
Teraz rozpiszemy kwadrat (xi−a)2:
(xi−a)2=(xi−xˉ+xˉ−a)2=((xi−xˉ)+(xˉ−a))2
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, mamy:
((xi−xˉ)+(xˉ−a))2=(xi−xˉ)2+2(xi−xˉ)(xˉ−a)+(xˉ−a)2
Podstawiając to do naszego wzoru na s2, otrzymujemy:
s2=n1i=1∑n[(xi−xˉ)2+2(xi−xˉ)(xˉ−a)+(xˉ−a)2]
Teraz rozdzielamy sumowanie na trzy części:
s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2+n1i=1∑n2(xi−xˉ)(xˉ−a)+n1i=1∑n(xˉ−a)2
Pierwszy składnik to nasza znana już definicja wariancji. Drugi składnik to dwukrotność iloczynu średniej odchylenia od średniej i stałej (xˉ−a), co daje zero, ponieważ suma odchyleń od średniej w próbie zawsze jest równa zero. Trzeci składnik to prostu n razy stała (xˉ−a)2 podzielona przez n, co daje nam (xˉ−a)2.
Mamy więc:
s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2+0+(xˉ−a)2
Skoro drugi składnik to zero, to możemy go pominąć i ostatecznie otrzymujemy:
s2=n1i=1∑n(xi−xˉ)2−(xˉ−a)2
To kończy dowód. Pokazaliśmy, że dla dowolnego a∈R podany wzór na wariancję jest prawidłowy.