Znajdowanie pochodnej funkcji wymiernej za pomocą reguły ilorazu: przykład dla funkcji $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$

Dodano: 29.11.2023 12:14:57

Pochodną f(x)=(x+1)/(x^2-1)

Rozwiązanie

Oczywiście, zacznijmy od przypomnienia definicji pochodnej funkcji. Pochodna funkcji f(x)f(x) w punkcie xx informuje nas o szybkości zmian wartości funkcji w tym punkcie. Formalnie, jeśli mamy funkcję f(x)f(x), to jej pochodna, oznaczana jako f(x)f'(x) lub dfdx\frac{df}{dx}, jest zdefiniowana jako: f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

W przypadku funkcji f(x)=x+1x21f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}, jest ona złożeniem funkcji wymiernej. Aby znaleźć jej pochodną, skorzystamy z reguły ilorazu: (f/g)=fgfgg2(f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} gdzie f(x)=x+1f(x) = x + 1 i g(x)=x21g(x) = x^2 - 1.

Obliczmy najpierw pochodne funkcji ff i gg: f(x)=(x+1)=1f'(x) = (x + 1)' = 1 g(x)=(x21)=2xg'(x) = (x^2 - 1)' = 2x

Teraz, korzystając z reguły ilorazu, możemy obliczyć pochodną funkcji f(x)f(x): f(x)=fgfgg2=1(x21)(x+1)2x(x21)2f'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 1) - (x + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2}

Uprośćmy ten wyrażenie: f(x)=x212x22x(x21)2f'(x) = \frac{x^2 - 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2} f(x)=x22x1(x21)2f'(x) = \frac{-x^2 - 2x - 1}{(x^2 - 1)^2}

Otrzymaliśmy więc pochodną funkcji f(x)=x+1x21f(x) = \frac{x+1}{x^2-1} w postaci: f(x)=x22x1(x21)2f'(x) = \frac{-x^2 - 2x - 1}{(x^2 - 1)^2}

To jest wynik końcowy.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się