Znajdowanie pochodnej funkcji wymiernej za pomocą reguły ilorazu: przykład dla funkcji $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$

Oczywiście, zacznijmy od przypomnienia definicji pochodnej funkcji. Pochodna funkcji $f(x)$ w punkcie $x$ informuje nas o szybkości zmian wartości funkcji w tym punkcie. Formalnie, jeśli mamy funkcję $f(x)$, to jej pochodna, oznaczana jako $f'(x)$ lub $\frac{df}{dx}$, jest zdefiniowana jako: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

W przypadku funkcji $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$, jest ona złożeniem funkcji wymiernej. Aby znaleźć jej pochodną, skorzystamy z reguły ilorazu: $$(f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ gdzie $f(x) = x + 1$ i $g(x) = x^2 - 1$.

Obliczmy najpierw pochodne funkcji $f$ i $g$: $$f'(x) = (x + 1)' = 1$$ $$g'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$$

Teraz, korzystając z reguły ilorazu, możemy obliczyć pochodną funkcji $f(x)$: $$f'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 1) - (x + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2}$$

Uprośćmy ten wyrażenie: $$f'(x) = \frac{x^2 - 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2 - 2x - 1}{(x^2 - 1)^2}$$

Otrzymaliśmy więc pochodną funkcji $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$ w postaci: $$f'(x) = \frac{-x^2 - 2x - 1}{(x^2 - 1)^2}$$

To jest wynik końcowy.