Oczywiście, zacznijmy od przypomnienia definicji pochodnej funkcji. Pochodna funkcji f(x) w punkcie x informuje nas o szybkości zmian wartości funkcji w tym punkcie. Formalnie, jeśli mamy funkcję f(x), to jej pochodna, oznaczana jako f′(x) lub dxdf, jest zdefiniowana jako:
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
W przypadku funkcji f(x)=x2−1x+1, jest ona złożeniem funkcji wymiernej. Aby znaleźć jej pochodną, skorzystamy z reguły ilorazu:
(f/g)′=g2f′g−fg′
gdzie f(x)=x+1 i g(x)=x2−1.
Obliczmy najpierw pochodne funkcji f i g:
f′(x)=(x+1)′=1
g′(x)=(x2−1)′=2x
Teraz, korzystając z reguły ilorazu, możemy obliczyć pochodną funkcji f(x):
f′(x)=g2f′g−fg′=(x2−1)21⋅(x2−1)−(x+1)⋅2x
Uprośćmy ten wyrażenie:
f′(x)=(x2−1)2x2−1−2x2−2x
f′(x)=(x2−1)2−x2−2x−1
Otrzymaliśmy więc pochodną funkcji f(x)=x2−1x+1 w postaci:
f′(x)=(x2−1)2−x2−2x−1
To jest wynik końcowy.