Znajdowanie wektorów prostopadłych i tworzących kąt $\pi/3$ z danymi wektorami.

Dodano: 18.01.2024 17:53:34

Rozwiązanie

Rozwiążmy oba podpunkty tego zadania po kolei.

a) Znalezienie wektora ww, który jest prostopadły do wektorów uu i vv

Dwa wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 00. Jeżeli wektor ww ma być prostopadły do wektorów u=(1,2,0)u = (1, -2, 0) i v=(0,3,2)v = (0, 3, -2), to musimy znaleźć taki wektor w=(x,y,z)w = (x, y, z), że:

uw=0ivw=0u \cdot w = 0 \quad \text{i} \quad v \cdot w = 0

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a=(a1,a2,a3)a = (a_1, a_2, a_3) i b=(b1,b2,b3)b = (b_1, b_2, b_3) jest określony jako:

ab=a1b1+a2b2+a3b3a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Zatem, dla wektora w=(x,y,z)w = (x, y, z) mamy:

uw=1x2y+0z=x2y=0u \cdot w = 1x - 2y + 0z = x - 2y = 0 vw=0x+3y2z=3y2z=0v \cdot w = 0x + 3y - 2z = 3y - 2z = 0

Mamy więc układ równań:

{x2y=03y2z=0\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases}

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy związki między zmiennymi xx, yy i zz. Z pierwszego równania wynika, że x=2yx = 2y. Z drugiego równania wynika, że z=32yz = \frac{3}{2}y. Ponieważ chcemy znaleźć dowolny wektor spełniający te warunki, możemy przyjąć y=ty = t (gdzie tt jest dowolną liczbą rzeczywistą), a następnie wyznaczyć pozostałe wartości. Otrzymujemy:

x=2tx = 2t z=32tz = \frac{3}{2}t

Zatem wektor ww można zapisać jako:

w=(2t,t,32t)w = (2t, t, \frac{3}{2}t)

Możemy wybrać dowolną wartość tt (oprócz t=0t = 0, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy, który nie jest wektorem prostopadłym w ścisłym tego słowa znaczeniu). Przykładowo, dla t=2t = 2 wektor ww wynosi:

w=(4,2,3)w = (4, 2, 3)

b) Znalezienie wektora ww, który z wektorami uu i vv tworzy kąt π/3\pi/3

Aby znaleźć wektor ww, który tworzy kąt π/3\pi/3 z wektorami u=(1,0,0)u = (1, 0, 0) i v=(1,3,0)v = (1, \sqrt{3}, 0), możemy wykorzystać definicję iloczynu skalarnego. Iloczyn skalarny aba \cdot b można także wyrazić jako:

ab=abcosθa \cdot b = |a| |b| \cos \theta

gdzie θ\theta to kąt między wektorami aa i bb, a a|a| oraz b|b| to długości wektorów aa i bb odpowiednio.

W tym przypadku, chcemy znaleźć wektor w=(x,y,z)w = (x, y, z) taki, że:

cos(π/3)=12\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}

Stąd mamy:

uw=uw12u \cdot w = |u| |w| \frac{1}{2} vw=vw12v \cdot w = |v| |w| \frac{1}{2}

Długość wektora uu to u=12+02+02=1|u| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, a długość wektora vv to v=12+(3)2+02=2|v| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = 2. Zatem:

uw=x=12wu \cdot w = x = \frac{1}{2} |w| vw=x+3y=wv \cdot w = x + \sqrt{3}y = |w|

Musimy teraz znaleźć wektor ww, który spełnia oba te równania. Używając pierwszego równania, możemy wyrazić xx jako:

x=12x2+y2+z2x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:

x2=14(x2+y2+z2)x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + y^2 + z^2)

Co daje nam:

34x2=14y2+14z2\frac{3}{4} x^2 = \frac{1}{4} y^2 + \frac{1}{4} z^2

3x2=y2+z23x^2 = y^2 + z^2

Teraz używając drugiego równania, otrzymujemy:

x+3y=x2+y2+z2x + \sqrt{3}y = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:

x2+23xy+3y2=x2+y2+z2x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 = x^2 + y^2 + z^2

23xy+2y2=z22\sqrt{3}xy + 2y^2 = z^2

Mając te dwa równania, możemy je rozwiązać razem, aby znaleźć zależności między xx, yy i zz. Z równania 3x2=y2+z23x^2 = y^2 + z^2 wynika, że y2+z2y^2 + z^2 jest podzielne przez 33, co oznacza, że yy i zz muszą być wielokrotnościami 3\sqrt{3} (aby ich kwadraty były podzielne przez 33).

Z równania 23xy+2y2=z22\sqrt{3}xy + 2y^2 = z^2 możemy wyrazić z2z^2 jako 23xy+2y22\sqrt{3}xy + 2y^2. Skoro z2z^2 jest równe 23xy+2y22\sqrt{3}xy + 2y^2 oraz y2+z2y^2 + z^2, to możemy stwierdzić, że:

y2+23xy+2y2=23xy+2y2+z2y^2 + 2\sqrt{3}xy + 2y^2 = 2\sqrt{3}xy + 2y^2 + z^2

y2=z2y^2 = z^2

y=±zy = \pm z

Ponieważ x=12x2+y2+z2x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, możemy teraz wybrać dowolne wartości dla yy i zz, które spełnią powyższe równania, a następnie wyznaczyć xx z pierwszego równania. Przykładowo, możemy ustawić y=3ty = \sqrt{3}t i z=3tz = \sqrt{3}t, gdzie tt jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:

x2=14(x2+3t2+3t2)x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 3t^2 + 3t^2)

x2=14(x2+6t2)x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 6t^2)

34x2=32t2\frac{3}{4} x^2 = \frac{3}{2} t^2

x2=2t2x^2 = 2t^2

x=±2tx = \pm \sqrt{2} t

Zatem wektor ww można zapisać jako:

w=(±2t,3t,3t)w = (\pm \sqrt{2} t, \sqrt{3} t, \sqrt{3} t)

Możemy wybrać dowolną wartość tt (oprócz t=0t = 0, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy). Przykładowo, dla t=1t = 1 wektor ww wynosi:

w=(±2,3,3)w = (\pm \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{3})

Jest to jeden z możliwych wektorów, który tworzy kąt π/3\pi/3 z wektorami uu i vv.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się