Znajdowanie wektorów prostopadłych i tworzących kąt $\pi/3$ z danymi wektorami.

Rozwiążmy oba podpunkty tego zadania po kolei.

a) Znalezienie wektora $w$, który jest prostopadły do wektorów $u$ i $v$

Dwa wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny wynosi $0$. Jeżeli wektor $w$ ma być prostopadły do wektorów $u = (1, -2, 0)$ i $v = (0, 3, -2)$, to musimy znaleźć taki wektor $w = (x, y, z)$, że:

$$u \cdot w = 0 \quad \text{i} \quad v \cdot w = 0$$

Iloczyn skalarny dwóch wektorów $a = (a_1, a_2, a_3)$ i $b = (b_1, b_2, b_3)$ jest określony jako:

$$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

Zatem, dla wektora $w = (x, y, z)$ mamy:

$$u \cdot w = 1x - 2y + 0z = x - 2y = 0$$ $$v \cdot w = 0x + 3y - 2z = 3y - 2z = 0$$

Mamy więc układ równań:

$$\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3y - 2z = 0 \end{cases}$$

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy związki między zmiennymi $x$, $y$ i $z$. Z pierwszego równania wynika, że $x = 2y$. Z drugiego równania wynika, że $z = \frac{3}{2}y$. Ponieważ chcemy znaleźć dowolny wektor spełniający te warunki, możemy przyjąć $y = t$ (gdzie $t$ jest dowolną liczbą rzeczywistą), a następnie wyznaczyć pozostałe wartości. Otrzymujemy:

$$x = 2t$$ $$z = \frac{3}{2}t$$

Zatem wektor $w$ można zapisać jako:

$$w = (2t, t, \frac{3}{2}t)$$

Możemy wybrać dowolną wartość $t$ (oprócz $t = 0$, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy, który nie jest wektorem prostopadłym w ścisłym tego słowa znaczeniu). Przykładowo, dla $t = 2$ wektor $w$ wynosi:

$$w = (4, 2, 3)$$

b) Znalezienie wektora $w$, który z wektorami $u$ i $v$ tworzy kąt $\pi/3$

Aby znaleźć wektor $w$, który tworzy kąt $\pi/3$ z wektorami $u = (1, 0, 0)$ i $v = (1, \sqrt{3}, 0)$, możemy wykorzystać definicję iloczynu skalarnego. Iloczyn skalarny $a \cdot b$ można także wyrazić jako:

$$a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$$

gdzie $\theta$ to kąt między wektorami $a$ i $b$, a $|a|$ oraz $|b|$ to długości wektorów $a$ i $b$ odpowiednio.

W tym przypadku, chcemy znaleźć wektor $w = (x, y, z)$ taki, że:

$$\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$$

Stąd mamy:

$$u \cdot w = |u| |w| \frac{1}{2}$$ $$v \cdot w = |v| |w| \frac{1}{2}$$

Długość wektora $u$ to $|u| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$, a długość wektora $v$ to $|v| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = 2$. Zatem:

$$u \cdot w = x = \frac{1}{2} |w|$$ $$v \cdot w = x + \sqrt{3}y = |w|$$

Musimy teraz znaleźć wektor $w$, który spełnia oba te równania. Używając pierwszego równania, możemy wyrazić $x$ jako:

$$x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:

$$x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + y^2 + z^2)$$

Co daje nam:

$$\frac{3}{4} x^2 = \frac{1}{4} y^2 + \frac{1}{4} z^2$$

$$3x^2 = y^2 + z^2$$

Teraz używając drugiego równania, otrzymujemy:

$$x + \sqrt{3}y = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:

$$x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 = x^2 + y^2 + z^2$$

$$2\sqrt{3}xy + 2y^2 = z^2$$

Mając te dwa równania, możemy je rozwiązać razem, aby znaleźć zależności między $x$, $y$ i $z$. Z równania $$3x^2 = y^2 + z^2$$ wynika, że $y^2 + z^2$ jest podzielne przez $3$, co oznacza, że $y$ i $z$ muszą być wielokrotnościami $\sqrt{3}$ (aby ich kwadraty były podzielne przez $3$).

Z równania $$2\sqrt{3}xy + 2y^2 = z^2$$ możemy wyrazić $z^2$ jako $2\sqrt{3}xy + 2y^2$. Skoro $z^2$ jest równe $2\sqrt{3}xy + 2y^2$ oraz $y^2 + z^2$, to możemy stwierdzić, że:

$$y^2 + 2\sqrt{3}xy + 2y^2 = 2\sqrt{3}xy + 2y^2 + z^2$$

$$y^2 = z^2$$

$$y = \pm z$$

Ponieważ $$x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$, możemy teraz wybrać dowolne wartości dla $y$ i $z$, które spełnią powyższe równania, a następnie wyznaczyć $x$ z pierwszego równania. Przykładowo, możemy ustawić $y = \sqrt{3}t$ i $z = \sqrt{3}t$, gdzie $t$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:

$$x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 3t^2 + 3t^2)$$

$$x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 6t^2)$$

$$\frac{3}{4} x^2 = \frac{3}{2} t^2$$

$$x^2 = 2t^2$$

$$x = \pm \sqrt{2} t$$

Zatem wektor $w$ można zapisać jako:

$$w = (\pm \sqrt{2} t, \sqrt{3} t, \sqrt{3} t)$$

Możemy wybrać dowolną wartość $t$ (oprócz $t = 0$, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy). Przykładowo, dla $t = 1$ wektor $w$ wynosi:

$$w = (\pm \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$$

Jest to jeden z możliwych wektorów, który tworzy kąt $\pi/3$ z wektorami $u$ i $v$.