Znajdowanie wektorów prostopadłych i tworzących kąt $\pi/3$ z danymi wektorami.
Dodano: 18.01.2024 17:53:34
Info
UWAGA! Pamiętaj że nasz system nie jest nieomylny. Ma on za zadanie jedynie ułatwić Ci naukę.
Rozwiązanie
Rozwiążmy oba podpunkty tego zadania po kolei.
a) Znalezienie wektora w, który jest prostopadły do wektorów u i v
Dwa wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0. Jeżeli wektor w ma być prostopadły do wektorów u=(1,−2,0) i v=(0,3,−2), to musimy znaleźć taki wektor w=(x,y,z), że:
u⋅w=0iv⋅w=0
Iloczyn skalarny dwóch wektorów a=(a1,a2,a3) i b=(b1,b2,b3) jest określony jako:
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3
Zatem, dla wektora w=(x,y,z) mamy:
u⋅w=1x−2y+0z=x−2y=0v⋅w=0x+3y−2z=3y−2z=0
Mamy więc układ równań:
{x−2y=03y−2z=0
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy związki między zmiennymi x, y i z. Z pierwszego równania wynika, że x=2y. Z drugiego równania wynika, że z=23y. Ponieważ chcemy znaleźć dowolny wektor spełniający te warunki, możemy przyjąć y=t (gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą), a następnie wyznaczyć pozostałe wartości. Otrzymujemy:
x=2tz=23t
Zatem wektor w można zapisać jako:
w=(2t,t,23t)
Możemy wybrać dowolną wartość t (oprócz t=0, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy, który nie jest wektorem prostopadłym w ścisłym tego słowa znaczeniu). Przykładowo, dla t=2 wektor w wynosi:
w=(4,2,3)
b) Znalezienie wektora w, który z wektorami u i v tworzy kąt π/3
Aby znaleźć wektor w, który tworzy kąt π/3 z wektorami u=(1,0,0) i v=(1,3,0), możemy wykorzystać definicję iloczynu skalarnego. Iloczyn skalarny a⋅b można także wyrazić jako:
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
gdzie θ to kąt między wektorami a i b, a ∣a∣ oraz ∣b∣ to długości wektorów a i b odpowiednio.
W tym przypadku, chcemy znaleźć wektor w=(x,y,z) taki, że:
cos(π/3)=21
Stąd mamy:
u⋅w=∣u∣∣w∣21v⋅w=∣v∣∣w∣21
Długość wektora u to ∣u∣=12+02+02=1, a długość wektora v to ∣v∣=12+(3)2+02=2. Zatem:
u⋅w=x=21∣w∣v⋅w=x+3y=∣w∣
Musimy teraz znaleźć wektor w, który spełnia oba te równania. Używając pierwszego równania, możemy wyrazić x jako:
x=21x2+y2+z2
Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:
x2=41(x2+y2+z2)
Co daje nam:
43x2=41y2+41z2
3x2=y2+z2
Teraz używając drugiego równania, otrzymujemy:
x+3y=x2+y2+z2
Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:
x2+23xy+3y2=x2+y2+z2
23xy+2y2=z2
Mając te dwa równania, możemy je rozwiązać razem, aby znaleźć zależności między x, y i z. Z równania 3x2=y2+z2 wynika, że y2+z2 jest podzielne przez 3, co oznacza, że y i z muszą być wielokrotnościami 3 (aby ich kwadraty były podzielne przez 3).
Z równania 23xy+2y2=z2 możemy wyrazić z2 jako 23xy+2y2. Skoro z2 jest równe 23xy+2y2 oraz y2+z2, to możemy stwierdzić, że:
y2+23xy+2y2=23xy+2y2+z2
y2=z2
y=±z
Ponieważ x=21x2+y2+z2, możemy teraz wybrać dowolne wartości dla y i z, które spełnią powyższe równania, a następnie wyznaczyć x z pierwszego równania. Przykładowo, możemy ustawić y=3t i z=3t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas:
x2=41(x2+3t2+3t2)
x2=41(x2+6t2)
43x2=23t2
x2=2t2
x=±2t
Zatem wektor w można zapisać jako:
w=(±2t,3t,3t)
Możemy wybrać dowolną wartość t (oprócz t=0, ponieważ wtedy otrzymalibyśmy wektor zerowy). Przykładowo, dla t=1 wektor w wynosi:
w=(±2,3,3)
Jest to jeden z możliwych wektorów, który tworzy kąt π/3 z wektorami u i v.
Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund
Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.