Rozwiązanie nierówności kwadratowej $\frac{1}{9}x^2 - 4x + 36 \leq 0$ poprzez przekształcenie i obliczenie pierwiastków.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową z części a):

$$\frac{1}{9}x^2 - 4x + 36 \leq 0$$

Najpierw przekształćmy nierówność do postaci ogólnej, mnożąc wszystkie wyrazy przez 9, aby pozbyć się ułamka:

$$x^2 - 36x + 324 \leq 0$$

Teraz poszukamy pierwiastków trójmianu kwadratowego, czyli rozwiążemy równanie kwadratowe:

$$x^2 - 36x + 324 = 0$$

Współczynniki to $a=1$, $b=-36$ i $c=324$. Obliczmy deltę ($\Delta$):

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 1296 - 1296 = 0$$

Ponieważ $\Delta = 0$, równanie kwadratowe ma jedno podwójne rozwiązanie, które obliczamy ze wzoru:

$$x = \frac{-b}{2a} = \frac{36}{2} = 18$$

Mamy więc jedno rozwiązanie $$x = 18$$. Ponieważ $\Delta = 0$, parabola opisana przez trójmian kwadratowy jest styczna do osi $x$ w punkcie $$x = 18$$ i ramiona paraboli są skierowane do góry (ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni).

Rozwiązaniem nierówności będzie zatem jedynie punkt $$x = 18$$, ponieważ dla każdego innego $x$ wartość trójmianu będzie dodatnia, co nie spełnia warunku nierówności $\leq 0$.

Zatem rozwiązaniem nierówności jest:

$$x = 18$$