Rozwiązanie nierówności dla wyznacznika macierzy 3x3.

Aby rozwiązać tę nierówność, musimy znaleźć wartości zmiennej $x$, dla których wyznacznik macierzy 3x3 jest większy od zera. Macierz, którą mamy tutaj, to:

$$\begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$$

Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy:

$$x \cdot \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$

Obliczamy teraz wyznaczniki macierzy 2x2:

$$\begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x - 1$$

$$\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - x$$

Podstawiamy te wartości z powrotem do wyrażenia wyznacznika macierzy 3x3:

$$x(x^2 - 1) - (x - 1) + (1 - x)$$

Uprośćmy to wyrażenie:

$$x^3 - x - x + 1 + 1 - x$$

$$x^3 - 3x + 2$$

Aby znaleźć wartości $x$, dla których ten trójmian jest większy od zera, możemy go rozłożyć na czynniki lub znaleźć jego miejsca zerowe. W tym przypadku widać, że dla $x=1$ trójmian się zeruje, więc $x-1$ jest jednym z czynników. Wykonajmy dzielenie wielomianów:

$$\frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}$$

Dzielenie wielomianów wykonujemy metoda Hornera:

1. Wpisujemy współczynniki wielomianu $$x^3 - 3x + 2$$ w pierwszym wierszu.
2. W drugim wierszu, pod jedynką, znowu wpisujemy jedynkę (bo $(x - 1)$ zaczyna się od jedynki).
3. Mnożymy tę jedynkę przez $1$ (pierwiastek wielomianu) i wpisujemy wynik pod współczynnikiem przy $x^2$.
4. Sumujemy wartości z pierwszego i drugiego wiersza, wpisując wynik pod drugim.
5. Powtarzamy kroki 3 i 4 dla pozostałych współczynników.

Wynik dzielenia to współczynniki nowego wielomianu o jeden stopień niższego.

Po przeprowadzeniu dzielenia otrzymujemy:

$$x^2 + x - 2$$

Rozkładamy ten trójmian na czynniki:

$$(x + 2)(x - 1)$$

Zatem, cały trójmian $$x^3 - 3x + 2$$ można zapisać jako:

$$(x - 1)(x + 2)(x - 1)$$

Teraz możemy znaleźć przedziały, w których trójmian jest dodatni:

1. Dla $x < -2$ wszystkie trzy czynniki są ujemne, więc ich iloczyn jest ujemny.
2. Dla $-2 < x < 1$, czynnik $(x + 2)$ jest dodatni, a pozostałe dwa są ujemne, więc iloczyn jest dodatni.
3. Dla $x > 1$ wszystkie trzy czynniki są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

Zatem, rozwiązaniem nierówności $x^3 - 3x + 2 > 0$ jest zbiór wartości $x$:

$$x \in (-2, 1) \cup (1, \infty)$$

To są wartości $x$, dla których wyznacznik macierzy jest większy od zera.