Rozwiązanie nierówności dla wyznacznika macierzy 3x3.

Dodano: 18.01.2024 10:14:44

Rozwiązanie

Aby rozwiązać tę nierówność, musimy znaleźć wartości zmiennej xx, dla których wyznacznik macierzy 3x3 jest większy od zera. Macierz, którą mamy tutaj, to:

x111x111x\begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}

Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy:

xx11x1111x+11x11x \cdot \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix}

Obliczamy teraz wyznaczniki macierzy 2x2:

x11x=x21\begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1

111x=x1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x - 1

1x11=1x\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - x

Podstawiamy te wartości z powrotem do wyrażenia wyznacznika macierzy 3x3:

x(x21)(x1)+(1x)x(x^2 - 1) - (x - 1) + (1 - x)

Uprośćmy to wyrażenie:

x3xx+1+1xx^3 - x - x + 1 + 1 - x

x33x+2x^3 - 3x + 2

Aby znaleźć wartości xx, dla których ten trójmian jest większy od zera, możemy go rozłożyć na czynniki lub znaleźć jego miejsca zerowe. W tym przypadku widać, że dla x=1x=1 trójmian się zeruje, więc x1x-1 jest jednym z czynników. Wykonajmy dzielenie wielomianów:

x33x+2x1\frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}

Dzielenie wielomianów wykonujemy metoda Hornera:

  1. Wpisujemy współczynniki wielomianu x33x+2x^3 - 3x + 2 w pierwszym wierszu.
  2. W drugim wierszu, pod jedynką, znowu wpisujemy jedynkę (bo (x1)(x - 1) zaczyna się od jedynki).
  3. Mnożymy tę jedynkę przez 11 (pierwiastek wielomianu) i wpisujemy wynik pod współczynnikiem przy x2x^2.
  4. Sumujemy wartości z pierwszego i drugiego wiersza, wpisując wynik pod drugim.
  5. Powtarzamy kroki 3 i 4 dla pozostałych współczynników.

Wynik dzielenia to współczynniki nowego wielomianu o jeden stopień niższego.

Po przeprowadzeniu dzielenia otrzymujemy:

x2+x2x^2 + x - 2

Rozkładamy ten trójmian na czynniki:

(x+2)(x1)(x + 2)(x - 1)

Zatem, cały trójmian x33x+2x^3 - 3x + 2 można zapisać jako:

(x1)(x+2)(x1)(x - 1)(x + 2)(x - 1)

Teraz możemy znaleźć przedziały, w których trójmian jest dodatni:

  1. Dla x<2x < -2 wszystkie trzy czynniki są ujemne, więc ich iloczyn jest ujemny.
  2. Dla 2<x<1-2 < x < 1, czynnik (x+2)(x + 2) jest dodatni, a pozostałe dwa są ujemne, więc iloczyn jest dodatni.
  3. Dla x>1x > 1 wszystkie trzy czynniki są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.

Zatem, rozwiązaniem nierówności x33x+2>0x^3 - 3x + 2 > 0 jest zbiór wartości xx:

x(2,1)(1,)x \in (-2, 1) \cup (1, \infty)

To są wartości xx, dla których wyznacznik macierzy jest większy od zera.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się