Rozwiązanie nierówności dla wyznacznika macierzy 3x3.
Dodano: 18.01.2024 10:14:44
Info
UWAGA! Pamiętaj że nasz system nie jest nieomylny. Ma on za zadanie jedynie ułatwić Ci naukę.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać tę nierówność, musimy znaleźć wartości zmiennej x, dla których wyznacznik macierzy 3x3 jest większy od zera. Macierz, którą mamy tutaj, to:
x111x111x
Rozwijając ten wyznacznik względem pierwszego wiersza, otrzymujemy:
x⋅x11x−1⋅111x+1⋅11x1
Obliczamy teraz wyznaczniki macierzy 2x2:
x11x=x2−1
111x=x−1
11x1=1−x
Podstawiamy te wartości z powrotem do wyrażenia wyznacznika macierzy 3x3:
x(x2−1)−(x−1)+(1−x)
Uprośćmy to wyrażenie:
x3−x−x+1+1−x
x3−3x+2
Aby znaleźć wartości x, dla których ten trójmian jest większy od zera, możemy go rozłożyć na czynniki lub znaleźć jego miejsca zerowe. W tym przypadku widać, że dla x=1 trójmian się zeruje, więc x−1 jest jednym z czynników. Wykonajmy dzielenie wielomianów:
x−1x3−3x+2
Dzielenie wielomianów wykonujemy metoda Hornera:
Wpisujemy współczynniki wielomianu x3−3x+2 w pierwszym wierszu.
W drugim wierszu, pod jedynką, znowu wpisujemy jedynkę (bo (x−1) zaczyna się od jedynki).
Mnożymy tę jedynkę przez 1 (pierwiastek wielomianu) i wpisujemy wynik pod współczynnikiem przy x2.
Sumujemy wartości z pierwszego i drugiego wiersza, wpisując wynik pod drugim.
Powtarzamy kroki 3 i 4 dla pozostałych współczynników.
Wynik dzielenia to współczynniki nowego wielomianu o jeden stopień niższego.
Po przeprowadzeniu dzielenia otrzymujemy:
x2+x−2
Rozkładamy ten trójmian na czynniki:
(x+2)(x−1)
Zatem, cały trójmian x3−3x+2 można zapisać jako:
(x−1)(x+2)(x−1)
Teraz możemy znaleźć przedziały, w których trójmian jest dodatni:
Dla x<−2 wszystkie trzy czynniki są ujemne, więc ich iloczyn jest ujemny.
Dla −2<x<1, czynnik (x+2) jest dodatni, a pozostałe dwa są ujemne, więc iloczyn jest dodatni.
Dla x>1 wszystkie trzy czynniki są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.
Zatem, rozwiązaniem nierówności x3−3x+2>0 jest zbiór wartości x:
x∈(−2,1)∪(1,∞)
To są wartości x, dla których wyznacznik macierzy jest większy od zera.
Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund
Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.