Analiza układów równań dla obliczenia obwodu prostokąta i różnicy długości jego boków

Aby rozwiązać to zadanie, musimy przeanalizować dostarczone informacje i zastosować je do odpowiednich równań.

Wiemy, że prostokąt ma boki długości $a$ i $b$, przy czym $a > b$. Ponadto obwód prostokąta wynosi 30, a jeden z boków jest o 5 krótszy od drugiego.

Obwód prostokąta obliczamy, sumując długości wszystkich boków, czyli: $$2a + 2b = 30$$

Z informacji, że jeden bok jest o 5 krótszy od drugiego, wynika, że: $$a = b + 5$$

Teraz możemy porównać te równania z podanymi opcjami:

• Opcja A: $\begin{cases} 2ab = 30 \\ a - b = 5 \end{cases}$ - nie zgadza się, ponieważ obwód to suma, a nie iloczyn boków.
• Opcja B: $\begin{cases} 2a + b = 30 \\ a = 5b \end{cases}$ - nie zgadza się, ponieważ pierwsze równanie nie pasuje do obliczenia obwodu prostokąta, a drugie nie jest zgodne z informacją, że $a$ jest tylko o 5 większe niż $b$.
• Opcja C: $\begin{cases} 2(a + b) = 30 \\ b = a - 5 \end{cases}$ - zgadza się, ponieważ pierwsze równanie to poprawna forma obliczenia obwodu, a drugie równanie jest zgodne z informacją, że $a$ jest o 5 większe niż $b$.
• Opcja D: $\begin{cases} 2a + 2b = 30 \\ b = 5a \end{cases}$ - nie zgadza się, ponieważ drugie równanie sugerowałoby, że $b$ jest 5 razy większe niż $a$, co jest niezgodne z założeniem $a > b$.
• Opcja E: $\begin{cases} 2a + 2b = 30 \\ a - b = 5 \end{cases}$ - zgadza się, ponieważ pierwsze równanie to poprawna forma obliczenia obwodu, a drugie równanie jest zgodne z informacją, że $a$ jest o 5 większe niż $b$.
• Opcja F: $\begin{cases} a + b = 30 \\ a = b + 5 \end{cases}$ - nie zgadza się, ponieważ pierwsze równanie nie odzwierciedla obliczenia obwodu prostokąta.

Poprawne odpowiedzi to więc opcje C i E. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: C oraz E.