"Znajdowanie punktu przecięcia symetralnej odcinka z osią paraboli poprzez znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą"

Dodano: 11.12.2023 14:23:55

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, najpierw znajdziemy punkty przecięcia prostej y=2x7y = -2x - 7 z parabolą y=x24x+1y = -x^2 - 4x + 1. Następnie, gdy już będziemy mieli współrzędne punktów PP i QQ, wyznaczymy środek odcinka PQPQ, który będzie punktem przecięcia symetralnej odcinka PQPQ z osią tej paraboli.

Krok 1: Znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą.

Równanie prostej równa się równaniu paraboli w punktach przecięcia, więc: 2x7=x24x+1.-2x - 7 = -x^2 - 4x + 1.

Przekształćmy równanie, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę: x2+2x8=0.x^2 + 2x - 8 = 0.

Teraz rozwiążemy równanie kwadratowe. Możemy to zrobić za pomocą wzorów na pierwiastki równania kwadratowego: x1,2=b±b24ac2a,x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, gdzie a=1a=1, b=2b=2, a c=8c=-8.

Obliczmy wartość pod pierwiastkiem (deltę): Δ=b24ac=2241(8)=4+32=36.\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.

Pierwiastek z delty to: Δ=36=6.\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6.

Teraz możemy obliczyć oba pierwiastki: x1=2+621=42=2,x_1 = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2, x2=2621=82=4.x_2 = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4.

Znając x1x_1 i x2x_2, możemy teraz obliczyć wartości yy dla punktów PP i QQ, podstawiając x1x_1 i x2x_2 do równania prostej: y1=227=47=11,y_1 = -2 \cdot 2 - 7 = -4 - 7 = -11, y2=2(4)7=87=1.y_2 = -2 \cdot (-4) - 7 = 8 - 7 = 1.

Zatem punkty przecięcia to P(2,11)P(2, -11) i Q(4,1)Q(-4, 1).

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka PQPQ.

Współrzędne środka odcinka PQPQ obliczamy jako średnią arytmetyczną współrzędnych punktów PP i QQ: xsˊr=xP+xQ2=242=22=1,x_{śr} = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1, ysˊr=yP+yQ2=11+12=102=5.y_{śr} = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{-11 + 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5.

Współrzędne środka odcinka PQPQ to (1,5)(-1, -5).

Odpowiedź: Współrzędne punktu, w którym symetralna odcinka PQPQ przecina oś tej paraboli, to (1,5)(-1, -5).

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się