"Znajdowanie punktu przecięcia symetralnej odcinka z osią paraboli poprzez znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą"

Aby rozwiązać to zadanie, najpierw znajdziemy punkty przecięcia prostej $y = -2x - 7$ z parabolą $y = -x^2 - 4x + 1$. Następnie, gdy już będziemy mieli współrzędne punktów $P$ i $Q$, wyznaczymy środek odcinka $PQ$, który będzie punktem przecięcia symetralnej odcinka $PQ$ z osią tej paraboli.

Krok 1: Znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą.

Równanie prostej równa się równaniu paraboli w punktach przecięcia, więc: $$-2x - 7 = -x^2 - 4x + 1.$$

Przekształćmy równanie, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę: $$x^2 + 2x - 8 = 0.$$

Teraz rozwiążemy równanie kwadratowe. Możemy to zrobić za pomocą wzorów na pierwiastki równania kwadratowego: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ gdzie $a=1$, $b=2$, a $c=-8$.

Obliczmy wartość pod pierwiastkiem (deltę): $$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.$$

Pierwiastek z delty to: $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6.$$

Teraz możemy obliczyć oba pierwiastki: $$x_1 = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4.$$

Znając $x_1$ i $x_2$, możemy teraz obliczyć wartości $y$ dla punktów $P$ i $Q$, podstawiając $x_1$ i $x_2$ do równania prostej: $$y_1 = -2 \cdot 2 - 7 = -4 - 7 = -11,$$ $$y_2 = -2 \cdot (-4) - 7 = 8 - 7 = 1.$$

Zatem punkty przecięcia to $P(2, -11)$ i $Q(-4, 1)$.

Krok 2: Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka $PQ$.

Współrzędne środka odcinka $PQ$ obliczamy jako średnią arytmetyczną współrzędnych punktów $P$ i $Q$: $$x_{śr} = \frac{x_P + x_Q}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1,$$ $$y_{śr} = \frac{y_P + y_Q}{2} = \frac{-11 + 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5.$$

Współrzędne środka odcinka $PQ$ to $(-1, -5)$.

Odpowiedź: Współrzędne punktu, w którym symetralna odcinka $PQ$ przecina oś tej paraboli, to $(-1, -5)$.