Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu przy pomocy funkcji potencjału.

Równanie różniczkowe, które mamy rozwiązać, wygląda następująco:

$$(2xy + e^x \cos y)dx + (x^2 - e^x \sin y + 2y)dy = 0.$$

Aby rozwiązać to równanie, poszukamy funkcji potencjału $\Phi(x,y)$, takiej że:

$$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 2xy + e^x \cos y, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 - e^x \sin y + 2y.$$

Zaczniemy od znalezienia funkcji $\Phi(x,y)$, całkując wyrażenie $\frac{\partial \Phi}{\partial x}$ po $x$:

$$\Phi(x,y) = \int (2xy + e^x \cos y)dx = x^2y + e^x \cos y + f(y),$$

gdzie $f(y)$ jest funkcją tylko zmiennej $y$, która pojawiła się w wyniku całkowania nieoznaczonych po $x$.

Teraz, aby znaleźć funkcję $f(y)$, skorzystamy z drugiego równania:

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + \frac{df(y)}{dy} = x^2 - e^x \sin y + 2y.$$

Stąd:

$$\frac{df(y)}{dy} = - e^x \sin y + 2y.$$

Ponieważ $f(y)$ jest funkcją tylko zmiennej $y$, wyrażenie $- e^x \sin y$ musi być równe zero, co oznacza, że $f(y)$ nie może zawierać $x$. Zatem jedynym składnikiem równania, który może być częścią $f(y)$, jest $2y$. Całkujemy to wyrażenie po $y$:

$$f(y) = \int 2y dy = y^2.$$

Teraz mamy pełną postać funkcji potencjału $\Phi(x,y)$:

$$\Phi(x,y) = x^2y + e^x \cos y + y^2.$$

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest zbiór poziomic funkcji $\Phi(x,y)$, czyli zbiór punktów $(x,y)$, dla których $\Phi(x,y) = C$, gdzie $C$ jest stałą. Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

$$x^2y + e^x \cos y + y^2 = C,$$

gdzie $C$ jest dowolną stałą rzeczywistą.