Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu przy pomocy funkcji potencjału.

Dodano: 30.11.2023 20:27:07

Rozwiązanie

Równanie różniczkowe, które mamy rozwiązać, wygląda następująco:

(2xy+excosy)dx+(x2exsiny+2y)dy=0.(2xy + e^x \cos y)dx + (x^2 - e^x \sin y + 2y)dy = 0.

Aby rozwiązać to równanie, poszukamy funkcji potencjału Φ(x,y)\Phi(x,y), takiej że:

Φx=2xy+excosy,Φy=x2exsiny+2y.\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 2xy + e^x \cos y, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 - e^x \sin y + 2y.

Zaczniemy od znalezienia funkcji Φ(x,y)\Phi(x,y), całkując wyrażenie Φx\frac{\partial \Phi}{\partial x} po xx:

Φ(x,y)=(2xy+excosy)dx=x2y+excosy+f(y),\Phi(x,y) = \int (2xy + e^x \cos y)dx = x^2y + e^x \cos y + f(y),

gdzie f(y)f(y) jest funkcją tylko zmiennej yy, która pojawiła się w wyniku całkowania nieoznaczonych po xx.

Teraz, aby znaleźć funkcję f(y)f(y), skorzystamy z drugiego równania:

Φy=x2+df(y)dy=x2exsiny+2y.\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + \frac{df(y)}{dy} = x^2 - e^x \sin y + 2y.

Stąd:

df(y)dy=exsiny+2y.\frac{df(y)}{dy} = - e^x \sin y + 2y.

Ponieważ f(y)f(y) jest funkcją tylko zmiennej yy, wyrażenie exsiny- e^x \sin y musi być równe zero, co oznacza, że f(y)f(y) nie może zawierać xx. Zatem jedynym składnikiem równania, który może być częścią f(y)f(y), jest 2y2y. Całkujemy to wyrażenie po yy:

f(y)=2ydy=y2.f(y) = \int 2y dy = y^2.

Teraz mamy pełną postać funkcji potencjału Φ(x,y)\Phi(x,y):

Φ(x,y)=x2y+excosy+y2.\Phi(x,y) = x^2y + e^x \cos y + y^2.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest zbiór poziomic funkcji Φ(x,y)\Phi(x,y), czyli zbiór punktów (x,y)(x,y), dla których Φ(x,y)=C\Phi(x,y) = C, gdzie CC jest stałą. Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

x2y+excosy+y2=C,x^2y + e^x \cos y + y^2 = C,

gdzie CC jest dowolną stałą rzeczywistą.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się