Obliczanie procentu obecnej średniej arytmetycznej wieku Joanny i Katarzyny w stosunku do wieku Wojciecha.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy najpierw ustalić wiek Joanny i Katarzyny z informacji podanych w treści zadania, a następnie użyć tych danych do obliczenia procentu obecnej średniej arytmetycznej wieku Joanny i Katarzyny w stosunku do obecnego wieku Wojciecha.

W treści zadania mamy informacje, że:

1. Wojciech ma 20 lat.
2. Osiem lat temu wiek Joanny stanowił $160\%$ średniej arytmetycznej ówczesnego wieku Wojciecha i Katarzyny.
3. Za osiem lat wiek Katarzyny będzie stanowił $80\%$ średniej arytmetycznej wieku, który wówczas osiągną Joanna i Wojciech.

Zaczniemy od punktu 2. Jeśli Wojciech ma obecnie 20 lat, to osiem lat temu miał $20 - 8 = 12$ lat. Oznaczmy wiek Katarzyny osiem lat temu jako $K$. Średnia arytmetyczna ówczesnych wieków Wojciecha i Katarzyny wynosiła $\frac{12 + K}{2}$. Z treści zadania wiemy, że wiek Joanny osiem lat temu wynosił $160\%$ tej średniej, czyli $1,6 \cdot \frac{12 + K}{2}$. Oznaczmy wiek Joanny osiem lat temu jako $J$. Mamy zatem równanie:

$$J = 1,6 \cdot \frac{12 + K}{2}$$

Teraz zajmiemy się punktem 3. Za osiem lat Wojciech będzie miał $20 + 8 = 28$ lat, a wiek Katarzyny będzie stanowił $80\%$ średniej arytmetycznej wieku, który wówczas osiągną Joanna i Wojciech. Oznaczmy ten przyszły wiek Katarzyny jako $K + 16$ (ponieważ Katarzyna będzie o 8 lat starsza niż obecnie, a obecnie ma $K$ lat). Mamy zatem:

$$K + 16 = 0,8 \cdot \frac{J + 16 + 28}{2}$$

Rozwiązujemy pierwsze równanie względem $J$:

$$J = 1,6 \cdot \frac{12 + K}{2}$$ $$J = 0,8 \cdot (12 + K)$$ $$J = 9,6 + 0,8K$$

Teraz rozwiązujemy drugie równanie względem $K$:

$$K + 16 = 0,8 \cdot \frac{J + 16 + 28}{2}$$ $$K + 16 = 0,4 \cdot (J + 44)$$ $$K + 16 = 0,4J + 17,6$$

Podstawiamy wyrażenie dla $J$ z pierwszego równania:

$$K + 16 = 0,4 \cdot (9,6 + 0,8K) + 17,6$$ $$K + 16 = 3,84 + 0,32K + 17,6$$ $$K + 16 = 0,32K + 21,44$$

Przenosimy wszystkie wyrazy z $K$ na jedną stronę, a liczby na drugą:

$$K - 0,32K = 21,44 - 16$$ $$0,68K = 5,44$$

Dzieląc obie strony przez 0,68, otrzymujemy wiek Katarzyny osiem lat temu:

$$K = \frac{5,44}{0,68}$$ $$K = 8$$

Teraz możemy obliczyć wiek Joanny osiem lat temu:

$$J = 9,6 + 0,8K$$ $$J = 9,6 + 0,8 \cdot 8$$ $$J = 9,6 + 6,4$$ $$J = 16$$

Obecny wiek Joanny wynosi $16 + 8 = 24$ lata, a obecny wiek Katarzyny to $8 + 8 = 16$ lat.

Obliczamy obecny procent średniej arytmetycznej wieku Joanny i Katarzyny w stosunku do obecnego wieku Wojciecha:

$$\text{Średnia arytmetyczna} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ $$\text{Procent średniej w stosunku do wieku Wojciecha} = \frac{20}{20} \cdot 100\% = 100\%$$

Odpowiedź: Obecna średnia arytmetyczna wieku Joanny i Katarzyny stanowi $100\%$ obecnego wieku Wojciecha.