Obliczanie wysokości i miary kąta ostrego rombu o zadanym polu i boku.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy wykorzystać kilka informacji o rombie oraz fakt, że pole rombu można obliczyć ze wzoru:

$$P = a \cdot h$$

gdzie $P$ to pole rombu, $a$ to długość boku rombu, a $h$ to wysokość rombu.

Ponieważ pole rombu wynosi $12 \text{ cm}^2$ i długość boku rombu wynosi $4 \text{ cm}$, to możemy podstawić te wartości do wzoru na pole rombu:

$$12 \text{ cm}^2 = 4 \text{ cm} \cdot h$$

Teraz wystarczy rozwiązać równanie względem $h$, aby znaleźć długość wysokości rombu:

$$h = \frac{12 \text{ cm}^2}{4 \text{ cm}} = 3 \text{ cm}$$

Wiemy więc już, że wysokość rombu wynosi $3 \text{ cm}$.

Kolejnym krokiem będzie obliczenie miary kąta ostrego rombu. W rombie wszystkie boki są równe oraz przeciwległe kąty są równe. Skoro mamy bok o długości $4 \text{ cm}$, to możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnych rombu, które będą potrzebne do wyznaczenia kąta ostrego.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy w punkcie przecięcia, tworząc cztery trójkąty prostokątne. Każdy z tych trójkątów ma boki o długościach równych połowie długości przekątnych rombu oraz wysokości rombu.

Oznaczmy jako $d$ długość przekątnej rombu. Mamy więc:

$$\left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$$

Podstawiamy długość wysokości $h = 3 \text{ cm}$ oraz długość boku $a = 4 \text{ cm}$:

$$\left(\frac{d}{2}\right)^2 + 3^2 = 4^2$$

Uprośćmy równanie i rozwiążmy je względem $d$:

$$\left(\frac{d}{2}\right)^2 + 9 = 16$$

$$\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 16 - 9$$

$$\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 7$$

$$\frac{d}{2} = \sqrt{7}$$

$$d = 2\sqrt{7}$$

Teraz możemy obliczyć miarę kąta ostrego rombu. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens, która dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym jest równa stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, mamy:

$$\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d}{2}}$$

Podstawiamy znane wartości:

$$\tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{7}}$$

Teraz wystarczy znaleźć taką miarę kąta $\alpha$, dla której tangens przyjmuje wartość $\frac{3}{\sqrt{7}}$. Możemy to zrobić korzystając z kalkulatora lub tablic trygonometrycznych.

Miara kąta ostrego rombu wynosi więc $\alpha = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)$, co można przybliżać do stopni za pomocą kalkulatora trygonometrycznego.

Podsumowując, wysokość rombu wynosi $3 \text{ cm}$, a miara kąta ostrego rombu wynosi $\arctan\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)$ stopni.