Obliczanie wysokości i miary kąta ostrego rombu o zadanym polu i boku.

Dodano: 27.11.2023 14:56:57

pole rombu jest równe 12 cm2. bok rombu ma długość 4 cm. oblicz miarę kąta ostrego rombu i długość jego wysokości.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, musimy wykorzystać kilka informacji o rombie oraz fakt, że pole rombu można obliczyć ze wzoru:

P=ahP = a \cdot h

gdzie PP to pole rombu, aa to długość boku rombu, a hh to wysokość rombu.

Ponieważ pole rombu wynosi 12 cm212 \text{ cm}^2 i długość boku rombu wynosi 4 cm4 \text{ cm}, to możemy podstawić te wartości do wzoru na pole rombu:

12 cm2=4 cmh12 \text{ cm}^2 = 4 \text{ cm} \cdot h

Teraz wystarczy rozwiązać równanie względem hh, aby znaleźć długość wysokości rombu:

h=12 cm24 cm=3 cmh = \frac{12 \text{ cm}^2}{4 \text{ cm}} = 3 \text{ cm}

Wiemy więc już, że wysokość rombu wynosi 3 cm3 \text{ cm}.

Kolejnym krokiem będzie obliczenie miary kąta ostrego rombu. W rombie wszystkie boki są równe oraz przeciwległe kąty są równe. Skoro mamy bok o długości 4 cm4 \text{ cm}, to możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnych rombu, które będą potrzebne do wyznaczenia kąta ostrego.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy w punkcie przecięcia, tworząc cztery trójkąty prostokątne. Każdy z tych trójkątów ma boki o długościach równych połowie długości przekątnych rombu oraz wysokości rombu.

Oznaczmy jako dd długość przekątnej rombu. Mamy więc:

(d2)2+h2=a2\left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2 = a^2

Podstawiamy długość wysokości h=3 cmh = 3 \text{ cm} oraz długość boku a=4 cma = 4 \text{ cm}:

(d2)2+32=42\left(\frac{d}{2}\right)^2 + 3^2 = 4^2

Uprośćmy równanie i rozwiążmy je względem dd:

(d2)2+9=16\left(\frac{d}{2}\right)^2 + 9 = 16

(d2)2=169\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 16 - 9

(d2)2=7\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 7

d2=7\frac{d}{2} = \sqrt{7}

d=27d = 2\sqrt{7}

Teraz możemy obliczyć miarę kąta ostrego rombu. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens, która dla kąta ostrego α\alpha w trójkącie prostokątnym jest równa stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, mamy:

tan(α)=hd2\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d}{2}}

Podstawiamy znane wartości:

tan(α)=37\tan(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{7}}

Teraz wystarczy znaleźć taką miarę kąta α\alpha, dla której tangens przyjmuje wartość 37\frac{3}{\sqrt{7}}. Możemy to zrobić korzystając z kalkulatora lub tablic trygonometrycznych.

Miara kąta ostrego rombu wynosi więc α=arctan(37)\alpha = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right), co można przybliżać do stopni za pomocą kalkulatora trygonometrycznego.

Podsumowując, wysokość rombu wynosi 3 cm3 \text{ cm}, a miara kąta ostrego rombu wynosi arctan(37)\arctan\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right) stopni.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się