Przedział ufności dla wariancji populacji w oparciu o rozkład chi-kwadrat: przykład zastosowania w analizie wydajności tokarzy.

Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z rozkładu $\chi^2$ (chi-kwadrat), ponieważ dotyczy on wariancji próbki z populacji normalnie rozłożonej. Znając wariancję próbki, możemy wyznaczyć przedział ufności dla wariancji populacji.

Treść zadania podaje, że mamy 16 tokarzy (czyli nasza próbka składa się z $n=16$ obserwacji) i wariancja ich wydajności wynosi $s^2 = 134,2$ sztuk na godzinę. Chcemy znaleźć 90% realizację przedziału ufności dla wariancji liczby sztuk wykonanych w ciągu godziny przez jednego tokarza.

Kroki rozwiązania: 1. Wyliczenie stopni swobody: $$df = n - 1 = 16 - 1 = 15$$

1. Znalezienie wartości krytycznych z rozkładu $\chi^2$ dla 90% przedziału ufności. Wartości te oznaczają, że 5% wartości rozkładu $\chi^2$ leży poniżej dolnej wartości krytycznej, a 5% powyżej górnej wartości krytycznej. Przyjmując $\alpha=0.10$, dolną wartość krytyczną oznaczymy jako $\chi^2_{0.05, df}$, a górną jako $\chi^2_{0.95, df}$.

2. Wartości te znajdziemy w tablicach rozkładu $\chi^2$ lub korzystając z kalkulatora online. Dla 15 stopni swobody i $\alpha=0.10$, otrzymujemy: $$\chi^2_{0.05, 15} \quad \text{i} \quad \chi^2_{0.95, 15}$$

3. Wyznaczenie przedziału ufności dla wariancji populacji: $$\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.95, df}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.05, df}}\right)$$

4. Podstawienie wartości do wzoru: $$\left(\frac{(16-1) \cdot 134,2}{\chi^2_{0.95, 15}}, \frac{(16-1) \cdot 134,2}{\chi^2_{0.05, 15}}\right)$$

5. Obliczenie wartości przedziału po znalezieniu wartości $\chi^2$ z tablic lub kalkulatora.

Proszę znaleźć wartości $\chi^2_{0.95, 15}$ i $\chi^2_{0.05, 15}$, abyśmy mogli kontynuować obliczenia.