Przedział ufności dla wariancji populacji w oparciu o rozkład chi-kwadrat: przykład zastosowania w analizie wydajności tokarzy.

Dodano: 18.01.2024 19:40:54

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z rozkładu χ2\chi^2 (chi-kwadrat), ponieważ dotyczy on wariancji próbki z populacji normalnie rozłożonej. Znając wariancję próbki, możemy wyznaczyć przedział ufności dla wariancji populacji.

Treść zadania podaje, że mamy 16 tokarzy (czyli nasza próbka składa się z n=16n=16 obserwacji) i wariancja ich wydajności wynosi s2=134,2s^2 = 134,2 sztuk na godzinę. Chcemy znaleźć 90% realizację przedziału ufności dla wariancji liczby sztuk wykonanych w ciągu godziny przez jednego tokarza.

Kroki rozwiązania: 1. Wyliczenie stopni swobody: df=n1=161=15df = n - 1 = 16 - 1 = 15

  1. Znalezienie wartości krytycznych z rozkładu χ2\chi^2 dla 90% przedziału ufności. Wartości te oznaczają, że 5% wartości rozkładu χ2\chi^2 leży poniżej dolnej wartości krytycznej, a 5% powyżej górnej wartości krytycznej. Przyjmując α=0.10\alpha=0.10, dolną wartość krytyczną oznaczymy jako χ0.05,df2\chi^2_{0.05, df}, a górną jako χ0.95,df2\chi^2_{0.95, df}.

  2. Wartości te znajdziemy w tablicach rozkładu χ2\chi^2 lub korzystając z kalkulatora online. Dla 15 stopni swobody i α=0.10\alpha=0.10, otrzymujemy: χ0.05,152iχ0.95,152\chi^2_{0.05, 15} \quad \text{i} \quad \chi^2_{0.95, 15}

  3. Wyznaczenie przedziału ufności dla wariancji populacji: ((n1)s2χ0.95,df2,(n1)s2χ0.05,df2)\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.95, df}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.05, df}}\right)

  4. Podstawienie wartości do wzoru: ((161)134,2χ0.95,152,(161)134,2χ0.05,152)\left(\frac{(16-1) \cdot 134,2}{\chi^2_{0.95, 15}}, \frac{(16-1) \cdot 134,2}{\chi^2_{0.05, 15}}\right)

  5. Obliczenie wartości przedziału po znalezieniu wartości χ2\chi^2 z tablic lub kalkulatora.

Proszę znaleźć wartości χ0.95,152\chi^2_{0.95, 15} i χ0.05,152\chi^2_{0.05, 15}, abyśmy mogli kontynuować obliczenia.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się