Optymalizacja produkcji i analiza opłacalności w programowaniu liniowym: przykład z planem produkcji i ustalaniem ceny zbytu wyrobu A

Aby rozwiązać to zadanie, możemy wykorzystać programowanie liniowe. Zaczniemy od części a), w której mamy wyznaczyć plan produkcji maksymalizujący przychód firmy.

Krok 1: Definiowanie zmiennych decyzyjnych Niech x będzie liczbą wyprodukowanych jednostek wyrobu A, a y będzie liczbą wyprodukowanych jednostek wyrobu B.

Krok 2: Funkcja celu Chcemy maksymalizować przychód, więc funkcja celu, którą będziemy maksymalizować, to: P = 20x + 60y gdzie P to przychód, 20 to cena zbytu wyrobu A, a 60 to cena zbytu wyrobu B.

Krok 3: Ograniczenia Ograniczenia wynikają z możliwości przerobu surowców i są następujące: - Dla surowca S1: 2x + 5y <= 200 - Dla surowca S2: 4x + 2y <= 120 - Dla surowca S3: 1x + 1y <= 80

Krok 4: Ograniczenia nieujemności Zmienne decyzyjne nie mogą być ujemne, więc: x >= 0 y >= 0

Krok 5: Rozwiązanie problemu Problem możemy rozwiązać graficznie, rysując ograniczenia na układzie współrzędnych i szukając punktu, który maksymalizuje funkcję celu, lub algebraicznie, używając metody sympleks.

Przyjmując, że nie mamy narzędzi do rozwiązania problemu algebraicznie, spróbujemy znaleźć rozwiązanie graficznie (choć oczywiście nie jestem w stanie pokazać grafu):

• Narysujmy linie ograniczeń na układzie współrzędnych (x, y).
• Znajdźmy przecięcie tych linii oraz punkty, w których linie przecinają osie współrzędnych.
• Zaznaczmy obszar dopuszczalnych rozwiązań – jest to obszar, który spełnia wszystkie ograniczenia jednocześnie.
• Odszukajmy punkt (lub punkty), w których nasza funkcja celu P = 20x + 60y będzie miała największą wartość, pozostając w obrębie obszaru dopuszczalnych rozwiązań.

Krok 6: Wnioski Punkt, w którym funkcja celu osiąga największą wartość, odpowiada ilości wyprodukowanych wyrobów A i B, które maksymalizują przychód firmy. Należy odczytać współrzędne tego punktu (x, y) jako rozwiązanie naszego problemu.

Przejdźmy teraz do części b) zadania, gdzie pytanie brzmi, jak powinna kształtować się cena zbytu wyrobu A, aby jego produkcja była opłacalna.

Krok 7: Analiza opłacalności produkcji wyrobu A Produkcja wyrobu A będzie opłacalna, jeśli przychód z jego sprzedaży przekroczy koszty produkcji. Koszty produkcji wyrobu A wynikają z zużycia surowców. Musimy więc ustalić cenę zbytu wyrobu A, która pokryje koszty surowców i pozostawi firmie zysk.

Z treści zadania nie wynika, jakie są koszty surowców S1, S2 i S3, więc nie możemy dokładnie obliczyć, jaka musi być minimalna cena zbytu wyrobu A. Zakładamy jednak, że cena zbytu musi być większa niż 0 i powinna przynajmniej pokrywać koszty surowców.

W praktyce, przy braku informacji o kosztach surowców, firma musiałaby przeprowadzić analizę kosztów, aby ustalić minimalną cenę zbytu wyrobu A, która zapewni opłacalność produkcji.