Obliczanie całek - całka z x/ sin^2 x i całka z (3x - 2)/sqrt(x^2 + 2x + 2)

W tym przypadku zajmę się pierwszym zadaniem, które dotyczy obliczenia całek. Rozwiążę obie części tego zadania po kolei.

Część A)

Mamy obliczyć całkę: $$\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx$$

Możemy zauważyć, że $\frac{1}{\sin^2 x}$ to $\csc^2 x$, więc całka przybiera postać: $$\int x \csc^2 x \, dx$$

Jest to całka przez części, gdzie ustawiamy: $$u = x \quad \text{i} \quad dv = \csc^2 x \, dx$$

Teraz musimy znaleźć $du$ i $v$, gdzie: $$du = dx \quad \text{i} \quad v = -\cot x$$

Całka przez części jest określona wzorem: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

Podstawiając nasze wyrażenia: $$\int x \csc^2 x \, dx = x(-\cot x) - \int (-\cot x) \, dx$$

Całka z $\cot x$ to $\ln |\sin x|$, więc mamy: $$x(-\cot x) + \ln |\sin x| + C$$

Podsumowując, wynik całki to: $$-\frac{x \cos x}{\sin x} + \ln |\sin x| + C$$

Część B)

Teraz obliczmy całkę: $$\int \frac{3x - 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx$$

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem to $(x+1)^2 + 1$, więc możemy przekształcić naszą całkę: $$\int \frac{3x - 2}{\sqrt{(x+1)^2 + 1}} \, dx$$

Zróbmy podstawienie: $$u = x+1 \quad \text{więc} \quad du = dx \quad \text{i} \quad x = u-1$$

Podstawiając do całki: $$\int \frac{3(u-1) - 2}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du$$

Rozbijmy to na dwie osobne całki: $$3\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du - 5\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du$$

Pierwsza część to całka funkcji homograficznej, którą można rozwiązać przez podstawienie $u^2 + 1 = t^2$, ale w tym przypadku, łatwiej zauważyć, że pochodna mianownika jest w liczniku, więc całka ta równa się $\sqrt{u^2 + 1}$.

Druga część to standardowa całka z funkcji trygonometrycznej. Możemy ją rozwiązać stosując podstawienie trygonometryczne $u = \tan(\theta)$, $du = \sec^2(\theta) d\theta$, ale w tym przypadku możemy też skorzystać z gotowej formuły na całkę funkcji $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ która wynosi $\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|$.

Podsumowując, całka wynosi: $$3\sqrt{u^2 + 1} - 5\ln|u + \sqrt{u^2 + 1}| + C$$

Podstawiamy z powrotem $u = x+1$: $$3\sqrt{(x+1)^2 + 1} - 5\ln|x+1 + \sqrt{(x+1)^2 + 1}| + C$$

Ostateczny wynik to: $$3\sqrt{x^2 + 2x + 2} - 5\ln|x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2}| + C$$

To kończy rozwiązanie pierwszego zadania. Jeśli potrzebujesz dalszej pomocy z kolejnymi zadaniami, daj mi znać!