Całka z cotx to ln∣sinx∣, więc mamy:
x(−cotx)+ln∣sinx∣+C
Podsumowując, wynik całki to:
−sinxxcosx+ln∣sinx∣+C
Część B)
Teraz obliczmy całkę:
∫x2+2x+23x−2dx
Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem to (x+1)2+1, więc możemy przekształcić naszą całkę:
∫(x+1)2+13x−2dx
Zróbmy podstawienie:
u=x+1więcdu=dxix=u−1
Podstawiając do całki:
∫u2+13(u−1)−2du
Rozbijmy to na dwie osobne całki:
3∫u2+1udu−5∫u2+11du
Pierwsza część to całka funkcji homograficznej, którą można rozwiązać przez podstawienie u2+1=t2, ale w tym przypadku, łatwiej zauważyć, że pochodna mianownika jest w liczniku, więc całka ta równa się u2+1.
Druga część to standardowa całka z funkcji trygonometrycznej. Możemy ją rozwiązać stosując podstawienie trygonometryczne u=tan(θ), du=sec2(θ)dθ, ale w tym przypadku możemy też skorzystać z gotowej formuły na całkę funkcji x2+11 która wynosi ln∣x+x2+1∣.
Podsumowując, całka wynosi:
3u2+1−5ln∣u+u2+1∣+C
Podstawiamy z powrotem u=x+1:
3(x+1)2+1−5ln∣x+1+(x+1)2+1∣+C
Ostateczny wynik to:
3x2+2x+2−5ln∣x+1+x2+2x+2∣+C
To kończy rozwiązanie pierwszego zadania. Jeśli potrzebujesz dalszej pomocy z kolejnymi zadaniami, daj mi znać!
Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund
Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.