Obliczanie całek - całka z x/ sin^2 x i całka z (3x - 2)/sqrt(x^2 + 2x + 2)

Dodano: 16.01.2024 20:56:00

Rozwiązanie

W tym przypadku zajmę się pierwszym zadaniem, które dotyczy obliczenia całek. Rozwiążę obie części tego zadania po kolei.

Część A)

Mamy obliczyć całkę: xsin2xdx\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx

Możemy zauważyć, że 1sin2x\frac{1}{\sin^2 x} to csc2x\csc^2 x, więc całka przybiera postać: xcsc2xdx\int x \csc^2 x \, dx

Jest to całka przez części, gdzie ustawiamy: u=xidv=csc2xdxu = x \quad \text{i} \quad dv = \csc^2 x \, dx

Teraz musimy znaleźć dudu i vv, gdzie: du=dxiv=cotxdu = dx \quad \text{i} \quad v = -\cot x

Całka przez części jest określona wzorem: udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du

Podstawiając nasze wyrażenia: xcsc2xdx=x(cotx)(cotx)dx\int x \csc^2 x \, dx = x(-\cot x) - \int (-\cot x) \, dx

Całka z cotx\cot x to lnsinx\ln |\sin x|, więc mamy: x(cotx)+lnsinx+Cx(-\cot x) + \ln |\sin x| + C

Podsumowując, wynik całki to: xcosxsinx+lnsinx+C-\frac{x \cos x}{\sin x} + \ln |\sin x| + C

Część B)

Teraz obliczmy całkę: 3x2x2+2x+2dx\int \frac{3x - 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem to (x+1)2+1(x+1)^2 + 1, więc możemy przekształcić naszą całkę: 3x2(x+1)2+1dx\int \frac{3x - 2}{\sqrt{(x+1)^2 + 1}} \, dx

Zróbmy podstawienie: u=x+1więcdu=dxix=u1u = x+1 \quad \text{więc} \quad du = dx \quad \text{i} \quad x = u-1

Podstawiając do całki: 3(u1)2u2+1du\int \frac{3(u-1) - 2}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du

Rozbijmy to na dwie osobne całki: 3uu2+1du51u2+1du3\int \frac{u}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du - 5\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} \, du

Pierwsza część to całka funkcji homograficznej, którą można rozwiązać przez podstawienie u2+1=t2u^2 + 1 = t^2, ale w tym przypadku, łatwiej zauważyć, że pochodna mianownika jest w liczniku, więc całka ta równa się u2+1\sqrt{u^2 + 1}.

Druga część to standardowa całka z funkcji trygonometrycznej. Możemy ją rozwiązać stosując podstawienie trygonometryczne u=tan(θ)u = \tan(\theta), du=sec2(θ)dθdu = \sec^2(\theta) d\theta, ale w tym przypadku możemy też skorzystać z gotowej formuły na całkę funkcji 1x2+1\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} która wynosi lnx+x2+1\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|.

Podsumowując, całka wynosi: 3u2+15lnu+u2+1+C3\sqrt{u^2 + 1} - 5\ln|u + \sqrt{u^2 + 1}| + C

Podstawiamy z powrotem u=x+1u = x+1: 3(x+1)2+15lnx+1+(x+1)2+1+C3\sqrt{(x+1)^2 + 1} - 5\ln|x+1 + \sqrt{(x+1)^2 + 1}| + C

Ostateczny wynik to: 3x2+2x+25lnx+1+x2+2x+2+C3\sqrt{x^2 + 2x + 2} - 5\ln|x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2}| + C

To kończy rozwiązanie pierwszego zadania. Jeśli potrzebujesz dalszej pomocy z kolejnymi zadaniami, daj mi znać!

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się