Czas potrzebny do osiągnięcia prędkości kątowej przez koło przy przyspieszeniu kątowym

Dodano: 06.12.2023 13:48:54

Koło a o promieniu ra = 10cm połączone jest paskiem z kołem b o promieniu Rb = 25 cm. Kolo a początkowo nieruchome zwiększa swoją prędkość kątowa o pi/2 rad/s2. Znajdź czas po którym kolo b osiągnie prędkość kątowa 100 obr./s.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z wzoru na prędkość kątową po czasie tt przy przyspieszeniu kątowym α\alpha. Wzór ten wygląda następująco: ω=ω0+αt\omega = \omega_0 + \alpha t gdzie: - ω\omega to końcowa prędkość kątowa, - ω0\omega_0 to prędkość kątowa początkowa, - α\alpha to przyspieszenie kątowe, - tt to czas.

W naszym przypadku koło aa początkowo jest nieruchome, więc ω0=0\omega_0 = 0 dla koła aa. Koło aa zwiększa swoją prędkość kątową o α=π2rad/s2\alpha = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s}^2.

Koło bb osiągnie prędkość kątową ωb=100obr./s\omega_b = 100 \, \text{obr./s}, ale ponieważ prędkość kątową wyrażamy w radianach na sekundę, musimy przeliczyć obroty na radiany. Skoro jeden obrót to 2π2\pi radianów, to 100obr./s100 \, \text{obr./s} równa się 200πrad/s200\pi \, \text{rad/s}.

Ponieważ koła są połączone paskiem, to prędkości liniowe na obrzeżach obu kół są równe. Prędkość liniowa vv dla koła o promieniu rr i prędkości kątowej ω\omega wynosi: v=ωrv = \omega r

Koło aa ma promień ra=10cmr_a = 10 \, \text{cm}, a koło bb ma promień Rb=25cmR_b = 25 \, \text{cm}. Stosując wzór na prędkość liniową dla obu kół otrzymamy równanie: ωara=ωbRb\omega_a r_a = \omega_b R_b

Podstawiając wartości promieni oraz prędkość kątową koła bb, otrzymujemy: ωa10=200π25\omega_a \cdot 10 = 200\pi \cdot 25

Teraz możemy wyliczyć prędkość kątową koła aa: ωa=200π2510=200π2.5=500πrad/s\omega_a = 200\pi \cdot \frac{25}{10} = 200\pi \cdot 2.5 = 500\pi \, \text{rad/s}

Teraz możemy podstawić wartości do wzoru na prędkość kątową koła aa po czasie tt przy przyspieszeniu kątowym α\alpha: 500π=0+π2t500\pi = 0 + \frac{\pi}{2} t

Rozwiązując powyższe równanie względem tt, otrzymujemy: t=500ππ2=5002π1π=10001πt = \frac{500\pi}{\frac{\pi}{2}} = 500 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\pi} = 1000 \cdot \frac{1}{\pi}

Teraz wystarczy obliczyć wartość tt: t=10001π100013.14318.47st = 1000 \cdot \frac{1}{\pi} \approx 1000 \cdot \frac{1}{3.14} \approx 318.47 \, \text{s}

Odpowiedź: Czas po którym koło bb osiągnie prędkość kątową 100obr./s100 \, \text{obr./s} wynosi około 318.47318.47 sekund.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się