Czas potrzebny do osiągnięcia prędkości kątowej przez koło przy przyspieszeniu kątowym

Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z wzoru na prędkość kątową po czasie $t$ przy przyspieszeniu kątowym $\alpha$. Wzór ten wygląda następująco: $$\omega = \omega_0 + \alpha t$$ gdzie: - $\omega$ to końcowa prędkość kątowa, - $\omega_0$ to prędkość kątowa początkowa, - $\alpha$ to przyspieszenie kątowe, - $t$ to czas.

W naszym przypadku koło $a$ początkowo jest nieruchome, więc $\omega_0 = 0$ dla koła $a$. Koło $a$ zwiększa swoją prędkość kątową o $\alpha = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/s}^2$.

Koło $b$ osiągnie prędkość kątową $\omega_b = 100 \, \text{obr./s}$, ale ponieważ prędkość kątową wyrażamy w radianach na sekundę, musimy przeliczyć obroty na radiany. Skoro jeden obrót to $2\pi$ radianów, to $100 \, \text{obr./s}$ równa się $200\pi \, \text{rad/s}$.

Ponieważ koła są połączone paskiem, to prędkości liniowe na obrzeżach obu kół są równe. Prędkość liniowa $v$ dla koła o promieniu $r$ i prędkości kątowej $\omega$ wynosi: $$v = \omega r$$

Koło $a$ ma promień $r_a = 10 \, \text{cm}$, a koło $b$ ma promień $R_b = 25 \, \text{cm}$. Stosując wzór na prędkość liniową dla obu kół otrzymamy równanie: $$\omega_a r_a = \omega_b R_b$$

Podstawiając wartości promieni oraz prędkość kątową koła $b$, otrzymujemy: $$\omega_a \cdot 10 = 200\pi \cdot 25$$

Teraz możemy wyliczyć prędkość kątową koła $a$: $$\omega_a = 200\pi \cdot \frac{25}{10} = 200\pi \cdot 2.5 = 500\pi \, \text{rad/s}$$

Teraz możemy podstawić wartości do wzoru na prędkość kątową koła $a$ po czasie $t$ przy przyspieszeniu kątowym $\alpha$: $$500\pi = 0 + \frac{\pi}{2} t$$

Rozwiązując powyższe równanie względem $t$, otrzymujemy: $$t = \frac{500\pi}{\frac{\pi}{2}} = 500 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\pi} = 1000 \cdot \frac{1}{\pi}$$

Teraz wystarczy obliczyć wartość $t$: $$t = 1000 \cdot \frac{1}{\pi} \approx 1000 \cdot \frac{1}{3.14} \approx 318.47 \, \text{s}$$

Odpowiedź: Czas po którym koło $b$ osiągnie prędkość kątową $100 \, \text{obr./s}$ wynosi około $318.47$ sekund.