Zbieżność i suma szeregu geometrycznego $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n$

Dodano: 17.01.2024 17:55:35

Rozwiąż punkt a

Rozwiązanie

Rozwiążemy podpunkt (a):

Musimy znaleźć sumę częściową i zbadać zbieżność szeregu: n=0(56)n\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n

Krok 1: Zauważ, że jest to szereg geometryczny, gdzie każdy kolejny wyraz jest uzyskiwany przez pomnożenie poprzedniego przez wspólny iloraz q=56q = \frac{5}{6}.

Krok 2: Suma częściowa szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1a_1 i ilorazie qq (gdzie q<1|q|<1) jest dana wzorem: S=a11qS = \frac{a_1}{1 - q} W naszym przypadku a1=(56)0=1a_1 = \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 (każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1).

Krok 3: Wstawiamy wartości do wzoru na sumę: S=1156=116=6S = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6

Krok 4: Zbadać zbieżność szeregu. Ponieważ q=56<1|q| = |\frac{5}{6}| < 1, to szereg geometryczny jest zbieżny.

Podsumowując, szereg geometryczny n=0(56)n\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n jest zbieżny i jego suma wynosi 6.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się