Zbieżność i suma szeregu geometrycznego $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n$

Rozwiążemy podpunkt (a):

Musimy znaleźć sumę częściową i zbadać zbieżność szeregu: $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n$$

Krok 1: Zauważ, że jest to szereg geometryczny, gdzie każdy kolejny wyraz jest uzyskiwany przez pomnożenie poprzedniego przez wspólny iloraz $q = \frac{5}{6}$.

Krok 2: Suma częściowa szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$ (gdzie $|q|<1$) jest dana wzorem: $$S = \frac{a_1}{1 - q}$$ W naszym przypadku $a_1 = \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1$ (każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1).

Krok 3: Wstawiamy wartości do wzoru na sumę: $$S = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$$

Krok 4: Zbadać zbieżność szeregu. Ponieważ $|q| = |\frac{5}{6}| < 1$, to szereg geometryczny jest zbieżny.

Podsumowując, szereg geometryczny $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^n$$ jest zbieżny i jego suma wynosi 6.