"Obliczanie zmiany potencjału równowagowego półogniwa dla reakcji redoks w zależności od zmiany pH roztworu"

Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z równania Nernsta, które pozwala nam obliczyć potencjał półogniwa w zależności od stężeń reagentów i produktów reakcji redoks. Równanie Nernsta dla danej reakcji redoks ma postać:

$$E = E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q$$

gdzie: - $E$ to potencjał półogniwa, - $E^0$ to standardowy potencjał półogniwa, - $R$ to stała gazowa równa $8,314\ J/(mol \cdot K)$, - $T$ to temperatura w kelwinach (dla standardowej temperatury 298 K), - $n$ to liczba moli elektronów przeniesionych w reakcji redoks, - $F$ to stała Faradaya równa $96485\ C/mol$, - $Q$ to iloraz reakcji, czyli stosunek stężeń produktów do stężeń substratów, podniesiony do odpowiednich potęg zgodnie ze współczynnikami stechiometrycznymi reakcji.

W reakcji podanej w zadaniu:

$$\text{Cr}_2\text{O}_7^{2-} + 14\text{H}^+ + 6\text{e}^- \rightarrow 2\text{Cr}^{3+} + 7\text{H}_2\text{O}$$

Stężenie jonów $\text{Cr}_2\text{O}_7^{2-}$ i $\text{Cr}^{3+}$ pozostaje niezmienione, natomiast zmienia się stężenie jonów $\text{H}^+$, co ma wpływ na potencjał półogniwa. Stężenie jonów $\text{H}^+$ można powiązać z pH roztworu za pomocą równania:

$$[\text{H}^+] = 10^{-\text{pH}}$$

Zmieniając pH z 4 na 2, stężenie $\text{H}^+$ zmienia się z $10^{-4}\ \text{M}$ na $10^{-2}\ \text{M}$.

Teraz możemy obliczyć iloraz reakcji $Q$ przed i po zmianie pH, ale zważywszy, że stężenia $\text{Cr}_2\text{O}_7^{2-}$ i $\text{Cr}^{3+}$ są stałe, będą one się skracać, więc wystarczy wziąć pod uwagę tylko zmianę stężenia jonów $\text{H}^+$:

$$Q_{\text{przed}} = \left(10^{-4}\right)^{14}$$ $$Q_{\text{po}} = \left(10^{-2}\right)^{14}$$

Teraz możemy użyć równania Nernsta, aby obliczyć zmianę potencjału:

$$\Delta E = E_{\text{po}} - E_{\text{przed}} = \left(E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q_{\text{po}}\right) - \left(E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q_{\text{przed}}\right)$$

Ponieważ $E^0$ jest stałe, skróci się ono, zostawiając nas z:

$$\Delta E = - \frac{RT}{nF} \ln Q_{\text{po}} + \frac{RT}{nF} \ln Q_{\text{przed}} = \frac{RT}{nF} \ln \frac{Q_{\text{przed}}}{Q_{\text{po}}}$$

Podstawiając wartości:

$$\Delta E = \frac{8,314 \cdot 298}{6 \cdot 96485} \ln \frac{\left(10^{-4}\right)^{14}}{\left(10^{-2}\right)^{14}} = \frac{8,314 \cdot 298}{6 \cdot 96485} \ln \frac{1}{\left(10^{2}\right)^{14}}$$

Po uproszczeniu (pamiętając, że $\ln a^b = b \ln a$):

$$\Delta E = \frac{8,314 \cdot 298}{6 \cdot 96485} \ln 10^{-28} = \frac{8,314 \cdot 298}{6 \cdot 96485} \cdot (-28) \ln 10$$

Po podstawieniu wartości (przybliżając $\ln 10 \approx 2,303$):

$$\Delta E = \frac{8,314 \cdot 298}{6 \cdot 96485} \cdot (-28) \cdot 2,303$$

$$\Delta E = \frac{2467492}{5798910} \cdot (-64,484)$$

$$\Delta E = -0,4255 \cdot (-64,484)$$

$$\Delta E = 27,428 \text{V}$$

Zatem zmiana potencjału równowagowego półogniwa po zmianie pH roztworu z 4 na 2 wynosi około 27,4 mV.