Obliczanie obecnej wartości inwestycji z uwzględnieniem kapitalizacji odsetek i oprocentowania 5% rocznie.

Rozwiązujemy zadanie z zakresu matematyki finansowej. Chcemy obliczyć, jaką kwotę należy obecnie wpłacić do banku, aby po upływie dwóch lat, przy kapitalizacji półrocznej i oprocentowaniu 5% rocznie, zgromadzić kwotę równą 200 000 zł.

Wzór na przyszłą wartość $FV$ przy kapitalizacji odsetek wynosi:

$$FV = PV \cdot \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

gdzie: $PV$ – obecna wartość (wartość początkowa kapitału), $r$ – roczna stopa procentowa (oprocentowanie w skali roku), $n$ – liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku, $t$ – liczba lat.

W naszym przypadku: $FV$ = 200 000 zł (wartość, którą chcemy osiągnąć po dwóch latach), $r$ = 5% = 0,05 (oprocentowanie roczne), $n$ = 2 (kapitalizacja odsetek następuje dwa razy w roku), $t$ = 2 lata.

Podstawiamy dane do wzoru:

$$200 000 = PV \cdot \left(1 + \frac{0,05}{2}\right)^{2 \cdot 2}$$

Teraz musimy wyizolować $PV$, aby obliczyć kwotę, którą należy teraz wpłacić:

$$PV = \frac{200 000}{\left(1 + \frac{0,05}{2}\right)^{2 \cdot 2}}$$

Przeliczmy to:

$$PV = \frac{200 000}{\left(1 + \frac{0,05}{2}\right)^{4}}$$

$$PV = \frac{200 000}{\left(1 + 0,025\right)^{4}}$$

$$PV = \frac{200 000}{\left(1,025\right)^{4}}$$

$$PV = \frac{200 000}{1,103812890625}$$

$$PV \approx \frac{200 000}{1,10381}$$

$$PV \approx 181 159,37 zł$$

Odpowiedź: Aby po dwóch latach przy kapitalizacji półrocznej i oprocentowaniu 5% zgromadzić kwotę 200 000 zł, obecnie należy wpłacić do banku około 181 159,37 zł.