Odległość punktu od prostej w postaci ogólnej.

Dodano: 05.12.2023 09:16:44

Rozwiązanie

Aby obliczyć odległość punktu P(3,2)P(-3, 2) od prostej o równaniu y=2x+1y = -2x + 1, skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej w postaci kierunkowej Ax+By+C=0Ax + By + C = 0. Wzór ten wygląda następująco:

d=Ax0+By0+CA2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

gdzie (x0,y0)(x_0, y_0) są współrzędnymi punktu, a AA, BB i CC są współczynnikami równania prostej przekształconego do postaci ogólnej Ax+By+C=0Ax + By + C = 0.

Równanie prostej mamy dane w postaci kierunkowej y=2x+1y = -2x + 1. Aby przekształcić je do postaci ogólnej, przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, tak aby po prawej stronie pozostało zero:

2xy+1=0-2x - y + 1 = 0

Teraz widzimy, że A=2A = -2, B=1B = -1 i C=1C = 1. Podstawiając te wartości oraz współrzędne punktu P(3,2)P(-3, 2) do wzoru, otrzymujemy:

d=2(3)12+1(2)2+(1)2=62+14+1=55=55d = \frac{|-2 \cdot (-3) - 1 \cdot 2 + 1|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}

Upraszczając wyrażenie, otrzymujemy:

d=5555=555=5d = \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}

Odpowiedź to więc 5\sqrt{5}, co odpowiada odpowiedzi C.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się