Funkcja iloczynu skalarnego w przestrzeni $\mathbb{R}^2$

Dodano: 26.01.2024 10:56:11

Rozwiązanie

Aby sprawdzić, czy dana funkcja jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Rn\mathbb{R}^n, musi ona spełniać kilka warunków:

  1. Liniowość względem pierwszego argumentu: ax1+by1,z=ax1,z+by1,z\langle ax_1+by_1, z \rangle = a\langle x_1, z \rangle + b\langle y_1, z\rangle dla dowolnych wektorów x1,y1,zx_1, y_1, z oraz skalarnych a,ba, b.
  2. Symetria: x,y=y,x\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle dla dowolnych wektorów x,yx, y.
  3. Dodatnia określoność: x,x0\langle x, x \rangle \geq 0 dla każdego wektora xx oraz x,x=0\langle x, x \rangle = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy xx jest wektorem zerowym.

Podana funkcja dla n=2n=2 jest zdefiniowana jako (x1,y1),(x2,y2)=x1y2+x2y1\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2 + x_2y_1.

Sprawdźmy poszczególne warunki:

  1. Liniowość względem pierwszego argumentu:

Weźmy a,ba, b jako skalary oraz wektory (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) w R2\mathbb{R}^2. Sprawdźmy, czy zachodzi równość: a(x1,y1)+b(x2,y2),(x3,y3)=a(x1,y1),(x3,y3)+b(x2,y2),(x3,y3).\langle a(x_1, y_1) + b(x_2, y_2), (x_3, y_3) \rangle = a\langle (x_1, y_1), (x_3, y_3) \rangle + b\langle (x_2, y_2), (x_3, y_3) \rangle. Po lewej stronie mamy: (ax1+bx2,ay1+by2),(x3,y3)=(ax1+bx2)y3+(ay1+by2)x3.\langle (ax_1 + bx_2, ay_1 + by_2), (x_3, y_3) \rangle = (ax_1 + bx_2)y_3 + (ay_1 + by_2)x_3. Rozpisując prawą stronę, otrzymujemy: a(x1y3+x3y1)+b(x2y3+x3y2)=ax1y3+ax3y1+bx2y3+bx3y2.a(x_1y_3 + x_3y_1) + b(x_2y_3 + x_3y_2) = ax_1y_3 + ax_3y_1 + bx_2y_3 + bx_3y_2. Jak widać, obie strony są sobie równe, więc liniowość względem pierwszego argumentu jest spełniona.

  1. Symetria:

Sprawdźmy, czy (x1,y1),(x2,y2)=(x2,y2),(x1,y1)\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = \langle (x_2, y_2), (x_1, y_1) \rangle. Mamy: (x1,y1),(x2,y2)=x1y2+x2y1,\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2 + x_2y_1, oraz: (x2,y2),(x1,y1)=x2y1+x1y2.\langle (x_2, y_2), (x_1, y_1) \rangle = x_2y_1 + x_1y_2. Ponieważ dodawanie jest przemienne, obie strony są równe, więc warunek symetrii jest spełniony.

  1. Dodatnia określoność:

Sprawdźmy, czy (x1,y1),(x1,y1)0\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle \geq 0 i kiedy równość zachodzi. Mamy: (x1,y1),(x1,y1)=x1y1+x1y1=2x1y1.\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle = x_1y_1 + x_1y_1 = 2x_1y_1. Wartość ta jest większa lub równa zero tylko wtedy, gdy x1y10x_1y_1 \geq 0, co nie zawsze musi być prawdą (np. gdy jeden z nich jest ujemny, a drugi dodatni). Dodatkowo, (x1,y1),(x1,y1)=0\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle = 0 nie implikuje, że (x1,y1)(x_1, y_1) jest wektorem zerowym.

Z powyższych obserwacji wynika, że podana funkcja nie jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R2\mathbb{R}^2, ponieważ nie spełnia warunku dodatniej określoności.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się