Funkcja iloczynu skalarnego w przestrzeni $\mathbb{R}^2$

Aby sprawdzić, czy dana funkcja jest iloczynem skalarnym w przestrzeni $\mathbb{R}^n$, musi ona spełniać kilka warunków:

1. Liniowość względem pierwszego argumentu: $\langle ax_1+by_1, z \rangle = a\langle x_1, z \rangle + b\langle y_1, z\rangle$ dla dowolnych wektorów $x_1, y_1, z$ oraz skalarnych $a, b$.
2. Symetria: $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ dla dowolnych wektorów $x, y$.
3. Dodatnia określoność: $\langle x, x \rangle \geq 0$ dla każdego wektora $x$ oraz $\langle x, x \rangle = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ jest wektorem zerowym.

Podana funkcja dla $n=2$ jest zdefiniowana jako $\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2 + x_2y_1$.

Sprawdźmy poszczególne warunki:

1. Liniowość względem pierwszego argumentu:

Weźmy $a, b$ jako skalary oraz wektory $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ w $\mathbb{R}^2$. Sprawdźmy, czy zachodzi równość: $$\langle a(x_1, y_1) + b(x_2, y_2), (x_3, y_3) \rangle = a\langle (x_1, y_1), (x_3, y_3) \rangle + b\langle (x_2, y_2), (x_3, y_3) \rangle.$$ Po lewej stronie mamy: $$\langle (ax_1 + bx_2, ay_1 + by_2), (x_3, y_3) \rangle = (ax_1 + bx_2)y_3 + (ay_1 + by_2)x_3.$$ Rozpisując prawą stronę, otrzymujemy: $$a(x_1y_3 + x_3y_1) + b(x_2y_3 + x_3y_2) = ax_1y_3 + ax_3y_1 + bx_2y_3 + bx_3y_2.$$ Jak widać, obie strony są sobie równe, więc liniowość względem pierwszego argumentu jest spełniona.

1. Symetria:

Sprawdźmy, czy $\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = \langle (x_2, y_2), (x_1, y_1) \rangle$. Mamy: $$\langle (x_1, y_1), (x_2, y_2) \rangle = x_1y_2 + x_2y_1,$$ oraz: $$\langle (x_2, y_2), (x_1, y_1) \rangle = x_2y_1 + x_1y_2.$$ Ponieważ dodawanie jest przemienne, obie strony są równe, więc warunek symetrii jest spełniony.

1. Dodatnia określoność:

Sprawdźmy, czy $\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle \geq 0$ i kiedy równość zachodzi. Mamy: $$\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle = x_1y_1 + x_1y_1 = 2x_1y_1.$$ Wartość ta jest większa lub równa zero tylko wtedy, gdy $x_1y_1 \geq 0$, co nie zawsze musi być prawdą (np. gdy jeden z nich jest ujemny, a drugi dodatni). Dodatkowo, $\langle (x_1, y_1), (x_1, y_1) \rangle = 0$ nie implikuje, że $(x_1, y_1)$ jest wektorem zerowym.

Z powyższych obserwacji wynika, że podana funkcja nie jest iloczynem skalarnym w przestrzeni $\mathbb{R}^2$, ponieważ nie spełnia warunku dodatniej określoności.