Rozwiązywanie przykładów krok po kroku z wykorzystaniem własności potęg.

Rozwiążmy podane przykłady krok po kroku, korzystając z własności potęg.

Przykład a) $$\frac{1}{2^3} \cdot 8^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{12} \cdot 3^2$$

Najpierw uproszczamy wyrażenia z potęgami, używając własności $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ oraz $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$$\frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$ $$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$$ $$\frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3 \cdot 2^2}$$ $$3^2 = 9$$

Podstawiamy te wyniki z powrotem do wyrażenia:

$$2^{-3} \cdot 2 + \frac{1}{3 \cdot 2^2} \cdot 9$$

Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie:

$$2^{-2} + \frac{9}{3 \cdot 4}$$ $$2^{-2} + \frac{9}{12}$$

Teraz obliczamy wartości:

$$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4}$$

Dodajemy ułamki:

$$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Ostateczny wynik przykładu a) to $1$.

Przykład b) $$\frac{1}{3^3} \cdot 3^2 + 3^2 \cdot 2^2$$

Najpierw upraszczamy potęgi:

$$\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$$ $$3^2 \cdot 2^2 = (3 \cdot 2)^2 = 6^2$$

Podstawiamy wyniki do wyrażenia:

$$3^{-3} \cdot 3^2 + 6^2$$

Uproszczamy potęgi o tej samej podstawie:

$$3^{-1} + 6^2$$

Obliczamy wartości:

$$3^{-1} = \frac{1}{3}$$ $$6^2 = 36$$

Dodajemy ułamek do liczby całkowitej:

$$\frac{1}{3} + 36$$

Aby dodać ułamek do liczby całkowitej, przedstawiamy liczbę całkowitą jako ułamek o tym samym mianowniku:

$$\frac{1}{3} + \frac{36 \cdot 3}{3}$$ $$\frac{1}{3} + \frac{108}{3}$$

Dodajemy ułamki:

$$\frac{1 + 108}{3} = \frac{109}{3}$$

Wynik nie jest liczbą całkowitą, ale możemy go przedstawić jako mieszany:

$$\frac{109}{3} = 36 \frac{1}{3}$$

Ostateczny wynik przykładu b) to $36 \frac{1}{3}$.

Jeśli chcesz, mogę kontynuować z pozostałymi przykładami.