Rozwiązanie układu równań liniowych metodą podstawiania. Analiza poprawności stwierdzeń dotyczących rozwiązania.

Mamy tutaj do rozwiązania układ równań:

$$\begin{cases} 2x = 3y - 11 \\ 1,5y - x - 5,5 = 0 \end{cases}$$

Aby rozwiązać ten układ równań, można użyć metody podstawiania lub przeciwnych współczynników. Zaczniemy od wyrażenia $x$ z pierwszego równania:

$$2x = 3y - 11 \Rightarrow x = \frac{3y - 11}{2}$$

Następnie podstawimy to wyrażenie do drugiego równania:

$$1,5y - \left(\frac{3y - 11}{2}\right) - 5,5 = 0$$

Aby się pozbyć ułamka, pomnożymy obie strony równania przez 2:

$$2 \cdot 1,5y - (3y - 11) - 2 \cdot 5,5 = 0 \cdot 2 \\ 3y - 3y + 11 - 11 = 0 \\ 0 = 0$$

Otrzymujemy tożsamość, co oznacza, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań i jest to układ równań nieoznaczony, co odpowiada odpowiedzi B.

Teraz sprawdzimy pozostałe odpowiedzi:

A. Para liczb $x = -1, y = 3$ jest rozwiązaniem tego układu równań. Podstawimy te wartości do obu równań:

$$\begin{cases} 2(-1) = 3(3) - 11 \\ 1,5(3) - (-1) - 5,5 = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -2 = 9 - 11 \\ 4,5 + 1 - 5,5 = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -2 = -2 \\ 0 = 0 \end{cases}$$

Oba równania są spełnione, więc para liczb $x = -1, y = 3$ jest rzeczywiście rozwiązaniem układu równań. Odpowiedź A jest prawdziwa.

C. Para liczb $x = -10, y = -3$ spełnia ten układ równań. Sprawdzimy to także:

$$\begin{cases} 2(-10) = 3(-3) - 11 \\ 1,5(-3) - (-10) - 5,5 = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -20 = -9 - 11 \\ -4,5 + 10 - 5,5 = 0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} -20 = -20 \\ 0 = 0 \end{cases}$$

Tak jak poprzednio, oba równania są spełnione, więc para liczb $x = -10, y = -3$ jest rozwiązaniem układu równań. Odpowiedź C jest prawdziwa.

D. Dowolna para liczb jest rozwiązaniem tego układu równań. To stwierdzenie jest prawdziwe tylko dla układu nieoznaczonego, którego równania są tożsamościami dla wszystkich par liczb. Ponieważ wcześniej ustaliliśmy, że układ jest nieoznaczony, odpowiedź D jest także prawdziwa.

Podsumowując, wszystkie odpowiedzi z wyjątkiem B są prawdziwe, co oznacza, że odpowiedź B jest fałszywa.