Wzajemne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej: punkt przecięcia, kąt między nimi i ich prostopadłość.

W zadaniu mamy dwie proste o równaniach: $$k: y = \frac{1}{3}x - 1$$ $$l: y = -3x + 6$$

Aby rozwiązać to zadanie, musimy zrozumieć podstawowe własności prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Krok 1: Sprawdzenie, czy proste mają punkty wspólne. Aby to zrobić, należy przyrównać równania prostych do siebie i rozwiązać tak powstałe równanie: $$\frac{1}{3}x - 1 = -3x + 6$$ Mnożymy obie strony przez $3$, aby pozbyć się ułamka: $$x - 3 = -9x + 18$$ Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a wyrazy wolne na drugą: $$x + 9x = 18 + 3$$ $$10x = 21$$ Dzielimy obie strony przez $10$, aby znaleźć wartość $x$: $$x = \frac{21}{10} = 2.1$$

Teraz podstawiamy wartość $x$ do jednego z równań, aby znaleźć $y$: $$y = \frac{1}{3} \cdot 2.1 - 1 = \frac{2.1}{3} - 1 = 0.7 - 1 = -0.3$$

Mamy więc punkt wspólny prostych $k$ i $l$, który jest równy $P = (2.1, -0.3)$. Odpowiedź A jest więc nieprawidłowa.

Krok 2: Sprawdzenie, czy proste są prostopadłe. Proste są prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Sprawdźmy to: $$współczynnik\ kierunkowy\ prostej\ k = \frac{1}{3}$$ $$współczynnik\ kierunkowy\ prostej\ l = -3$$ Mnożymy je przez siebie: $$\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$$

Wynik mnożenia jest równy $-1$, więc proste $k$ i $l$ są prostopadłe. Odpowiedź B jest prawidłowa.

Krok 3: Sprawdzenie, czy proste się pokrywają. Proste pokrywają się, jeżeli mają nieskończenie wiele punktów wspólnych oraz ich równania są zależne liniowo. Tutaj widzimy, że równania są różne, więc proste się nie pokrywają. Odpowiedź D jest nieprawidłowa.

Podsumowując, poprawna odpowiedź to B. są prostopadłe.