Rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego $y' + xy = xy^3$ przy użyciu podstawienia $v = y^{-2}$

Dodano: 30.11.2023 20:20:20

Rozwiązanie

Rozwiążemy równanie różniczkowe Bernoulliego z pierwszej części zdjęcia:

y+xy=xy3.y' + xy = xy^3.

Równanie Bernoulliego ma postać:

y+p(x)y=q(x)yn,y' + p(x)y = q(x)y^n,

gdzie n0,1n \neq 0, 1. Aby je rozwiązać, wprowadzamy nową funkcję v(x)v(x) poprzez podstawienie:

v=y1n.v = y^{1-n}.

W naszym przypadku mamy n=3n = 3, więc 1n=21-n = -2 i podstawienie wygląda następująco:

v=y2    y=v1/2.v = y^{-2} \implies y = v^{-1/2}.

Teraz musimy wyznaczyć pochodną yy' używając tego podstawienia. Korzystając z reguły pochodnej funkcji odwrotnej, mamy:

y=12v3/2v.y' = -\frac{1}{2}v^{-3/2}v'.

Wstawiając to do naszego równania oraz y=v1/2y = v^{-1/2}, otrzymujemy:

12v3/2v+xv1/2=xv3/2.-\frac{1}{2}v^{-3/2}v' + xv^{-1/2} = xv^{-3/2}.

Teraz dzielimy całe równanie przez v3/2v^{-3/2}:

12v+x=x.-\frac{1}{2}v' + x = x.

Zauważamy, że po prawej stronie równania xx się skraca i zostaje równanie:

12v=0.-\frac{1}{2}v' = 0.

Integrując obie strony równania względem xx, otrzymujemy:

12vdx=0dx,-\frac{1}{2} \int v' \, dx = \int 0 \, dx,

co upraszcza się do:

12v=C.-\frac{1}{2}v = C.

Stąd:

v=2C,v = -2C,

gdzie CC jest stałą integracji. Pamiętając, że v=y2v = y^{-2}, mamy:

y2=2C.y^{-2} = -2C.

Podnosząc obie strony równania do potęgi 1/2-1/2, otrzymujemy:

y=±12C.y = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C}}.

Stała CC musi być ujemna, aby pierwiastek był z liczby dodatniej. Ostatecznym rozwiązaniem jest funkcja:

y(x)=±12C,y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2|C|}},

gdzie C|C| oznacza wartość bezwzględną stałej integracji CC.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się