Rozwiązanie równania różniczkowego Bernoulliego $y' + xy = xy^3$ przy użyciu podstawienia $v = y^{-2}$

Rozwiążemy równanie różniczkowe Bernoulliego z pierwszej części zdjęcia:

$$y' + xy = xy^3.$$

Równanie Bernoulliego ma postać:

$$y' + p(x)y = q(x)y^n,$$

gdzie $n \neq 0, 1$. Aby je rozwiązać, wprowadzamy nową funkcję $v(x)$ poprzez podstawienie:

$$v = y^{1-n}.$$

W naszym przypadku mamy $n = 3$, więc $1-n = -2$ i podstawienie wygląda następująco:

$$v = y^{-2} \implies y = v^{-1/2}.$$

Teraz musimy wyznaczyć pochodną $y'$ używając tego podstawienia. Korzystając z reguły pochodnej funkcji odwrotnej, mamy:

$$y' = -\frac{1}{2}v^{-3/2}v'.$$

Wstawiając to do naszego równania oraz $y = v^{-1/2}$, otrzymujemy:

$$-\frac{1}{2}v^{-3/2}v' + xv^{-1/2} = xv^{-3/2}.$$

Teraz dzielimy całe równanie przez $v^{-3/2}$:

$$-\frac{1}{2}v' + x = x.$$

Zauważamy, że po prawej stronie równania $x$ się skraca i zostaje równanie:

$$-\frac{1}{2}v' = 0.$$

Integrując obie strony równania względem $x$, otrzymujemy:

$$-\frac{1}{2} \int v' \, dx = \int 0 \, dx,$$

co upraszcza się do:

$$-\frac{1}{2}v = C.$$

Stąd:

$$v = -2C,$$

gdzie $C$ jest stałą integracji. Pamiętając, że $v = y^{-2}$, mamy:

$$y^{-2} = -2C.$$

Podnosząc obie strony równania do potęgi $-1/2$, otrzymujemy:

$$y = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C}}.$$

Stała $C$ musi być ujemna, aby pierwiastek był z liczby dodatniej. Ostatecznym rozwiązaniem jest funkcja:

$$y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{2|C|}},$$

gdzie $|C|$ oznacza wartość bezwzględną stałej integracji $C$.