Obliczanie promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym.

Dodano: 03.12.2023 11:07:55

Rozwiązanie

Zadanie dotyczy obliczenia promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym. Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z własności trapezu równoramiennego opisanego na okręgu oraz z twierdzenia o odcinkach stycznych.

Trapez równoramienny opisany na okręgu ma dwie ważne własności: 1. Suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego ramion. 2. Kąty przy podstawie są równe.

Ponieważ promień okręgu opisanego na trapezie wynosi 4, to możemy oznaczyć krótszą podstawę trapezu jako aa, a dłuższą jako 4a4a (z treści zadania wiemy, że jedna podstawa jest cztery razy dłuższa od drugiej). Skoro trapez jest równoramienny, to jego ramiona są równe i mają długość po 4a4a. Skorzystamy z własności 1.

Oznaczmy długość ramienia trapezu jako bb. Wtedy suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion, czyli: a+4a=2ba + 4a = 2b 5a=2b5a = 2b b=52ab = \frac{5}{2}a

Teraz skorzystamy z własności trójkąta wpisanego w okrąg, gdzie wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu opisanego na trapezie. Wysokość trapezu (która jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego) jest równa dwóm promieniom, czyli 2r2 \cdot r, gdzie rr to promień okręgu. W naszym przypadku r=4r = 4, więc wysokość trapezu wynosi 24=82 \cdot 4 = 8.

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla jednego z trójkątów prostokątnych, który powstaje, gdy poprowadzimy wysokość z wierzchołka trapezu do jego dłuższej podstawy. Mamy: b2=a2+(2r)2b^2 = a^2 + (2r)^2 Podstawiając b=52ab = \frac{5}{2}a oraz 2r=82r = 8, otrzymujemy: (52a)2=a2+82\left(\frac{5}{2}a\right)^2 = a^2 + 8^2 254a2=a2+64\frac{25}{4}a^2 = a^2 + 64 254a2a2=64\frac{25}{4}a^2 - a^2 = 64 214a2=64\frac{21}{4}a^2 = 64 a2=64421a^2 = \frac{64 \cdot 4}{21} a2=25621a^2 = \frac{256}{21} a=25621a = \sqrt{\frac{256}{21}} a=1621a = \frac{16}{\sqrt{21}} a=162121a = \frac{16\sqrt{21}}{21}

Teraz możemy obliczyć długość ramienia trapezu bb: b=52ab = \frac{5}{2}a b=52162121b = \frac{5}{2} \cdot \frac{16\sqrt{21}}{21} b=402121b = \frac{40\sqrt{21}}{21}

Wysokość trapezu jest równa dwukrotności promienia okręgu opisanego, więc możemy już obliczyć długość ramienia bb korzystając z twierdzenia Pitagorasa: b2=a2+(2r)2b^2 = a^2 + (2r)^2 Podstawiamy aa i rr: (402121)2=(162121)2+82\left(\frac{40\sqrt{21}}{21}\right)^2 = \left(\frac{16\sqrt{21}}{21}\right)^2 + 8^2 160021441=25621441+64\frac{1600 \cdot 21}{441} = \frac{256 \cdot 21}{441} + 64 160021=25621+64\frac{1600}{21} = \frac{256}{21} + 64 16002125621=64\frac{1600}{21} - \frac{256}{21} = 64 134421=64\frac{1344}{21} = 64 6421=134464 \cdot 21 = 1344 r2=1344r^2 = 1344 r=1344r = \sqrt{1344} r=821r = 8\sqrt{21}

Zatem promień okręgu opisanego na trapezie wynosi 8218\sqrt{21}.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się