Obliczanie promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym.

Zadanie dotyczy obliczenia promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym. Aby rozwiązać to zadanie, skorzystamy z własności trapezu równoramiennego opisanego na okręgu oraz z twierdzenia o odcinkach stycznych.

Trapez równoramienny opisany na okręgu ma dwie ważne własności: 1. Suma długości jego podstaw jest równa sumie długości jego ramion. 2. Kąty przy podstawie są równe.

Ponieważ promień okręgu opisanego na trapezie wynosi 4, to możemy oznaczyć krótszą podstawę trapezu jako $a$, a dłuższą jako $4a$ (z treści zadania wiemy, że jedna podstawa jest cztery razy dłuższa od drugiej). Skoro trapez jest równoramienny, to jego ramiona są równe i mają długość po $4a$. Skorzystamy z własności 1.

Oznaczmy długość ramienia trapezu jako $b$. Wtedy suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion, czyli: $$a + 4a = 2b$$ $$5a = 2b$$ $$b = \frac{5}{2}a$$

Teraz skorzystamy z własności trójkąta wpisanego w okrąg, gdzie wysokość trójkąta jest równa promieniowi okręgu opisanego na trapezie. Wysokość trapezu (która jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego) jest równa dwóm promieniom, czyli $2 \cdot r$, gdzie $r$ to promień okręgu. W naszym przypadku $r = 4$, więc wysokość trapezu wynosi $2 \cdot 4 = 8$.

Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla jednego z trójkątów prostokątnych, który powstaje, gdy poprowadzimy wysokość z wierzchołka trapezu do jego dłuższej podstawy. Mamy: $$b^2 = a^2 + (2r)^2$$ Podstawiając $$b = \frac{5}{2}a$$ oraz $2r = 8$, otrzymujemy: $$\left(\frac{5}{2}a\right)^2 = a^2 + 8^2$$ $$\frac{25}{4}a^2 = a^2 + 64$$ $$\frac{25}{4}a^2 - a^2 = 64$$ $$\frac{21}{4}a^2 = 64$$ $$a^2 = \frac{64 \cdot 4}{21}$$ $$a^2 = \frac{256}{21}$$ $$a = \sqrt{\frac{256}{21}}$$ $$a = \frac{16}{\sqrt{21}}$$ $$a = \frac{16\sqrt{21}}{21}$$

Teraz możemy obliczyć długość ramienia trapezu $b$: $$b = \frac{5}{2}a$$ $$b = \frac{5}{2} \cdot \frac{16\sqrt{21}}{21}$$ $$b = \frac{40\sqrt{21}}{21}$$

Wysokość trapezu jest równa dwukrotności promienia okręgu opisanego, więc możemy już obliczyć długość ramienia $b$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $$b^2 = a^2 + (2r)^2$$ Podstawiamy $a$ i $r$: $$\left(\frac{40\sqrt{21}}{21}\right)^2 = \left(\frac{16\sqrt{21}}{21}\right)^2 + 8^2$$ $$\frac{1600 \cdot 21}{441} = \frac{256 \cdot 21}{441} + 64$$ $$\frac{1600}{21} = \frac{256}{21} + 64$$ $$\frac{1600}{21} - \frac{256}{21} = 64$$ $$\frac{1344}{21} = 64$$ $$64 \cdot 21 = 1344$$ $$r^2 = 1344$$ $$r = \sqrt{1344}$$ $$r = 8\sqrt{21}$$

Zatem promień okręgu opisanego na trapezie wynosi $8\sqrt{21}$.