Równanie logarytmiczne bez rozwiązania

Zadanie polega na znalezieniu równania, które nie ma rozwiązań. Aby to zrobić, należy przeanalizować każde równanie z osobna, zwracając uwagę na dziedzinę logarytmu, która wymaga, aby argument logarytmu był dodatni.

A. $\log_5(2x - 4) = \log_5(5 - x)$

Równanie ma sens, gdy oba argumenty logarytmów są dodatnie, czyli: $$2x - 4 > 0 \quad \text{oraz} \quad 5 - x > 0$$ Rozwiązując obie nierówności, otrzymujemy: $$x > 2 \quad \text{oraz} \quad x < 5$$ Zbiór rozwiązań tych nierówności to przedział $(2, 5)$, więc istnieją takie $x$, dla których równanie ma sens. Ponieważ logarytmy są z tej samej bazy, argumenty muszą być równe: $$2x - 4 = 5 - x$$ $$3x = 9$$ $$x = 3$$ Zatem równanie A ma rozwiązanie $$x = 3$$, które należy do przedziału $(2, 5)$.

B. $\log(3x - 12) = \log(3 - x)$

Podobnie jak w przypadku A, oba argumenty logarytmów muszą być dodatnie: $$3x - 12 > 0 \quad \text{oraz} \quad 3 - x > 0$$ Rozwiązując obie nierówności, otrzymujemy: $$x > 4 \quad \text{oraz} \quad x < 3$$ Zbiory rozwiązań obu nierówności nie pokrywają się, więc nie istnieje $x$ spełniający obie nierówności jednocześnie. To oznacza, że równanie B nie ma rozwiązań.

C. $\log_6(5 - x) = \log_6(x - 1)$

Równanie ma sens dla: $$5 - x > 0 \quad \text{oraz} \quad x - 1 > 0$$ Rozwiązując nierówności otrzymujemy: $$x < 5 \quad \text{oraz} \quad x > 1$$ Zbiorem rozwiązań jest przedział $(1, 5)$ i istnieją $x$ spełniające obie nierówności. Ponieważ logarytmy mają tę samą bazę, argumenty muszą być równe: $$5 - x = x - 1$$ $$2x = 6$$ $$x = 3$$ Równanie C ma rozwiązanie $$x = 3$$, które należy do przedziału $(1, 5)$.

D. $\log_{\frac{1}{3}}(4 - x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x)$

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, argumenty logarytmów muszą być dodatnie: $$4 - x > 0 \quad \text{oraz} \quad 2 + x > 0$$ Rozwiązując nierówności otrzymujemy: $$x < 4 \quad \text{oraz} \quad x > -2$$ Zbiorem rozwiązań obu nierówności jest przedział $(-2, 4)$, więc istnieją $x$ spełniające obie nierówności. Ponieważ logarytmy mają tę samą bazę, argumenty muszą być równe: $$4 - x = 2 + x$$ $$2x = 2$$ $$x = 1$$ Równanie D ma rozwiązanie $$x = 1$$, które należy do przedziału $(-2, 4)$.

Podsumowując, równaniem, które nie ma rozwiązań, jest równanie B.