Równanie logarytmiczne bez rozwiązania

Dodano: 11.12.2023 13:49:22

Rozwiązanie

Zadanie polega na znalezieniu równania, które nie ma rozwiązań. Aby to zrobić, należy przeanalizować każde równanie z osobna, zwracając uwagę na dziedzinę logarytmu, która wymaga, aby argument logarytmu był dodatni.

A. log5(2x4)=log5(5x)\log_5(2x - 4) = \log_5(5 - x)

Równanie ma sens, gdy oba argumenty logarytmów są dodatnie, czyli: 2x4>0oraz5x>02x - 4 > 0 \quad \text{oraz} \quad 5 - x > 0 Rozwiązując obie nierówności, otrzymujemy: x>2orazx<5x > 2 \quad \text{oraz} \quad x < 5 Zbiór rozwiązań tych nierówności to przedział (2,5)(2, 5), więc istnieją takie xx, dla których równanie ma sens. Ponieważ logarytmy są z tej samej bazy, argumenty muszą być równe: 2x4=5x2x - 4 = 5 - x 3x=93x = 9 x=3x = 3 Zatem równanie A ma rozwiązanie x=3x = 3, które należy do przedziału (2,5)(2, 5).

B. log(3x12)=log(3x)\log(3x - 12) = \log(3 - x)

Podobnie jak w przypadku A, oba argumenty logarytmów muszą być dodatnie: 3x12>0oraz3x>03x - 12 > 0 \quad \text{oraz} \quad 3 - x > 0 Rozwiązując obie nierówności, otrzymujemy: x>4orazx<3x > 4 \quad \text{oraz} \quad x < 3 Zbiory rozwiązań obu nierówności nie pokrywają się, więc nie istnieje xx spełniający obie nierówności jednocześnie. To oznacza, że równanie B nie ma rozwiązań.

C. log6(5x)=log6(x1)\log_6(5 - x) = \log_6(x - 1)

Równanie ma sens dla: 5x>0orazx1>05 - x > 0 \quad \text{oraz} \quad x - 1 > 0 Rozwiązując nierówności otrzymujemy: x<5orazx>1x < 5 \quad \text{oraz} \quad x > 1 Zbiorem rozwiązań jest przedział (1,5)(1, 5) i istnieją xx spełniające obie nierówności. Ponieważ logarytmy mają tę samą bazę, argumenty muszą być równe: 5x=x15 - x = x - 1 2x=62x = 6 x=3x = 3 Równanie C ma rozwiązanie x=3x = 3, które należy do przedziału (1,5)(1, 5).

D. log13(4x)=log13(2+x)\log_{\frac{1}{3}}(4 - x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x)

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, argumenty logarytmów muszą być dodatnie: 4x>0oraz2+x>04 - x > 0 \quad \text{oraz} \quad 2 + x > 0 Rozwiązując nierówności otrzymujemy: x<4orazx>2x < 4 \quad \text{oraz} \quad x > -2 Zbiorem rozwiązań obu nierówności jest przedział (2,4)(-2, 4), więc istnieją xx spełniające obie nierówności. Ponieważ logarytmy mają tę samą bazę, argumenty muszą być równe: 4x=2+x4 - x = 2 + x 2x=22x = 2 x=1x = 1 Równanie D ma rozwiązanie x=1x = 1, które należy do przedziału (2,4)(-2, 4).

Podsumowując, równaniem, które nie ma rozwiązań, jest równanie B.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się