Rozwiązanie równania kwadratowego z użyciem zasady zerowania iloczynu.

Rozwiążemy równanie: $$\frac{(3x^2 - 6x)(x^2 - 9)}{(x - 2)(x - 3)^2} = 0$$

Na początek zauważmy, że mianownik nie może być równy zero, ponieważ dzielenie przez zero nie jest dozwolone. Stąd wiemy, że $x \neq 2$ oraz $x \neq 3$.

Teraz skupimy się na liczniku. Równanie jest równe zero, gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Zatem rozwiążemy równanie: $$(3x^2 - 6x)(x^2 - 9) = 0$$

Rozłóżmy każdy z czynników licznika na iloczyn: $$3x(x - 2)(x + 3)(x - 3) = 0$$

Teraz zastosujemy zasadę zerowania iloczynu, która mówi, że iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Mamy zatem trzy możliwe rozwiązania: $$3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$ $$x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$ $$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3$$ $$x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Jednak jak wcześniej wspomniano, $x$ nie może być równe $2$ ani $3$, ponieważ wtedy mianownik równania byłby równy zero. Zatem z czterech potencjalnych rozwiązań, dwa ($x = 2$ i $x = 3$) są odrzucane.

Pozostają nam zatem dwa rozwiązania, które są dopuszczalne: $$x = 0 \quad \text{oraz} \quad x = -3$$

Odpowiedź na zadanie to zatem C. ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = 0$, $x = -3$.