Znajdowanie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty i porównywanie z podanymi opcjami.

Dodano: 24.01.2024 17:28:44

Rozwiązanie

Aby znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty P(2,3,1)P(2,3,-1), Q(4,2,5)Q(4,2,5) i R(6,2,7)R(6,2,7), możemy skorzystać z wektorów.

Najpierw znajdziemy wektory kierunkowe płaszczyzny, które są równoległe do tej płaszczyzny, wykorzystując różnice współrzędnych punktów:

PQ=QP=(42,23,5(1))=(2,1,6)\vec{PQ} = Q - P = (4-2, 2-3, 5-(-1)) = (2, -1, 6) PR=RP=(62,23,7(1))=(4,1,8)\vec{PR} = R - P = (6-2, 2-3, 7-(-1)) = (4, -1, 8)

Teraz wektory PQ\vec{PQ} i PR\vec{PR} leżą w płaszczyźnie, którą szukamy, więc możemy użyć ich do znalezienia wektora normalnego płaszczyzny poprzez ich iloczyn wektorowy:

n=PQ×PR=ijk216418\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 6 \\ 4 & -1 & 8 \\ \end{vmatrix}

Rozwijając ten wyznacznik otrzymamy:

n=i((1)86(1))j(2864)+k(2(1)(1)4)\vec{n} = \mathbf{i}((-1)\cdot8 - 6\cdot(-1)) - \mathbf{j}(2\cdot8 - 6\cdot4) + \mathbf{k}(2\cdot(-1) - (-1)\cdot4) n=i(8+6)j(1624)+k(2+4)\vec{n} = \mathbf{i}(-8 + 6) - \mathbf{j}(16 - 24) + \mathbf{k}(-2 + 4) n=2i+8j+2k\vec{n} = -2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 2\mathbf{k}

Zatem wektor normalny n\vec{n} ma współrzędne (2,8,2)(-2, 8, 2). Równanie płaszczyzny możemy teraz zapisać jako:

2(xx0)+8(yy0)+2(zz0)=0-2(x - x_0) + 8(y - y_0) + 2(z - z_0) = 0

Ponieważ płaszczyzna przechodzi przez punkt P(2,3,1)P(2,3,-1), podstawiamy jego współrzędne za (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0):

2(x2)+8(y3)+2(z(1))=0-2(x - 2) + 8(y - 3) + 2(z - (-1)) = 0 2x+4+8y24+2z+2=0-2x + 4 + 8y - 24 + 2z + 2 = 0 2x+8y+2z18=0-2x + 8y + 2z - 18 = 0

Teraz możemy podzielić całe równanie przez 2-2, aby uzyskać równanie w bardziej standardowej postaci:

x4yz+9=0x - 4y - z + 9 = 0

Odpowiedź na pytanie z zadania znajdujemy poprzez porównanie tego równania z podanymi opcjami:

  • Jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu 3x+2y5z10=03x + 2y - 5z - 10 = 0. Aby sprawdzić prostopadłość, potrzebowalibyśmy aby iloczyn skalarny wektorów normalnych obu płaszczyzn wynosił 00, co w tym przypadku nie jest prawdą.
  • Przechodzi przez punkt (2,3,5)(-2,3,-5). Aby to sprawdzić, możemy podstawić współrzędne punktu do równania płaszczyzny: (2)4(3)(5)+9=212+5+9=0(-2) - 4(3) - (-5) + 9 = -2 - 12 + 5 + 9 = 0 Więc opcja ta jest prawidłowa.
  • Ma równanie x+4yz15=0x + 4y - z - 15 = 0. To równanie jest różne od równania, które otrzymaliśmy, więc ta opcja jest nieprawidłowa.
  • Jest równoległa do płaszczyzny 4yz+5=0-4y - z + 5 = 0. Aby była równoległa, wektory normalne obu płaszczyzn musiałyby być proporcjonalne. Ponieważ wektor normalny naszej płaszczyzny to (2,8,2)(-2, 8, 2), a wektor normalny podanej płaszczyzny to (0,4,1)(0, -4, -1), nie są one proporcjonalne, więc ta opcja jest nieprawidłowa.

Podsumowując, prawidłowa odpowiedź to opcja druga: płaszczyzna przechodzi przez punkt (2,3,5)(-2,3,-5).

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się