Znajdowanie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty i porównywanie z podanymi opcjami.

Aby znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty $P(2,3,-1)$, $Q(4,2,5)$ i $R(6,2,7)$, możemy skorzystać z wektorów.

Najpierw znajdziemy wektory kierunkowe płaszczyzny, które są równoległe do tej płaszczyzny, wykorzystując różnice współrzędnych punktów:

$$\vec{PQ} = Q - P = (4-2, 2-3, 5-(-1)) = (2, -1, 6)$$ $$\vec{PR} = R - P = (6-2, 2-3, 7-(-1)) = (4, -1, 8)$$

Teraz wektory $\vec{PQ}$ i $\vec{PR}$ leżą w płaszczyźnie, którą szukamy, więc możemy użyć ich do znalezienia wektora normalnego płaszczyzny poprzez ich iloczyn wektorowy:

$$\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 6 \\ 4 & -1 & 8 \\ \end{vmatrix}$$

Rozwijając ten wyznacznik otrzymamy:

$$\vec{n} = \mathbf{i}((-1)\cdot8 - 6\cdot(-1)) - \mathbf{j}(2\cdot8 - 6\cdot4) + \mathbf{k}(2\cdot(-1) - (-1)\cdot4)$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(-8 + 6) - \mathbf{j}(16 - 24) + \mathbf{k}(-2 + 4)$$ $$\vec{n} = -2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$

Zatem wektor normalny $\vec{n}$ ma współrzędne $(-2, 8, 2)$. Równanie płaszczyzny możemy teraz zapisać jako:

$$-2(x - x_0) + 8(y - y_0) + 2(z - z_0) = 0$$

Ponieważ płaszczyzna przechodzi przez punkt $P(2,3,-1)$, podstawiamy jego współrzędne za $(x_0, y_0, z_0)$:

$$-2(x - 2) + 8(y - 3) + 2(z - (-1)) = 0$$ $$-2x + 4 + 8y - 24 + 2z + 2 = 0$$ $$-2x + 8y + 2z - 18 = 0$$

Teraz możemy podzielić całe równanie przez $-2$, aby uzyskać równanie w bardziej standardowej postaci:

$$x - 4y - z + 9 = 0$$

Odpowiedź na pytanie z zadania znajdujemy poprzez porównanie tego równania z podanymi opcjami:

• Jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu $3x + 2y - 5z - 10 = 0$. Aby sprawdzić prostopadłość, potrzebowalibyśmy aby iloczyn skalarny wektorów normalnych obu płaszczyzn wynosił $0$, co w tym przypadku nie jest prawdą.
• Przechodzi przez punkt $(-2,3,-5)$. Aby to sprawdzić, możemy podstawić współrzędne punktu do równania płaszczyzny: $$(-2) - 4(3) - (-5) + 9 = -2 - 12 + 5 + 9 = 0$$ Więc opcja ta jest prawidłowa.
• Ma równanie $x + 4y - z - 15 = 0$. To równanie jest różne od równania, które otrzymaliśmy, więc ta opcja jest nieprawidłowa.
• Jest równoległa do płaszczyzny $-4y - z + 5 = 0$. Aby była równoległa, wektory normalne obu płaszczyzn musiałyby być proporcjonalne. Ponieważ wektor normalny naszej płaszczyzny to $(-2, 8, 2)$, a wektor normalny podanej płaszczyzny to $(0, -4, -1)$, nie są one proporcjonalne, więc ta opcja jest nieprawidłowa.

Podsumowując, prawidłowa odpowiedź to opcja druga: płaszczyzna przechodzi przez punkt $(-2,3,-5)$.