Rozwiązanie: Sprawdzenie prawdziwości stwierdzeń dotyczących wielomianu $W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x$

Rozważmy wielomian $W(x) = 3x^3 + 6x^2 + 9x$ oraz sprawdźmy prawdziwość podanych stwierdzeń.

Stwierdzenie 1

“Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = 3x$ i $G(x) = x^2 + 2x + 3$.”

Aby sprawdzić to stwierdzenie, musimy pomnożyć wielomiany $F(x)$ i $G(x)$ i sprawdzić, czy wynik jest równy $W(x)$.

$$\begin{aligned} F(x) \cdot G(x) &= 3x \cdot (x^2 + 2x + 3) \\ &= 3x \cdot x^2 + 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 \\ &= 3x^3 + 6x^2 + 9x \end{aligned}$$

Widzimy, że wynik jest równy $W(x)$. Zatem stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2

“Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x) = 0$.”

Aby sprawdzić to stwierdzenie, musimy obliczyć $W(-1)$ i sprawdzić, czy wynik jest równy zeru.

$$\begin{aligned} W(-1) &= 3(-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) \\ &= 3(-1) + 6(1) + 9(-1) \\ &= -3 + 6 - 9 \\ &= -6 \end{aligned}$$

Wartość $W(-1)$ nie jest równa zeru, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).

Podsumowanie

1. Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x) = 3x$ i $G(x) = x^2 + 2x + 3$ - Prawda (P)
2. Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x) = 0$ - Fałsz (F)