Musimy obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji u(x,y,z), czyli ∂x∂u, ∂y∂u oraz ∂z∂u.
Zacznijmy od pochodnej cząstkowej względem x:
∂x∂u=∂x∂(x3−y4−xy+xz+3x−2y−z+4)
Pamiętamy, że przy obliczaniu pochodnej cząstkowej po x, traktujemy zmienne y i z jako stałe. Obliczamy pochodną każdego składnika funkcji oddzielnie:
∂x∂u=3x2−0−y+z+3−0−0+0=3x2−y+z+3.
Teraz obliczmy pochodną cząstkową względem y:
∂y∂u=∂y∂(x3−y4−xy+xz+3x−2y−z+4)
Analogicznie, traktujemy zmienne x i z jako stałe:
∂y∂u=0−4y3−x+0+0−2−0+0=−4y3−x−2.
Na koniec obliczmy pochodną cząstkową względem z:
∂z∂u=∂z∂(x3−y4−xy+xz+3x−2y−z+4)
Ponownie, x i y traktujemy jako stałe:
∂z∂u=0−0−0+x+0−0−1+0=x−1.
Podsumowując, mamy trzy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
∂x∂u=3x2−y+z+3,∂y∂u=−4y3−x−2,∂z∂u=x−1.