Obliczanie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji $u(x, y, z)$ - przykład praktyczny.

Musimy obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji $u(x, y, z)$, czyli $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$ oraz $\frac{\partial u}{\partial z}$.

Zacznijmy od pochodnej cząstkowej względem $x$:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 - y^4 - xy + xz + 3x - 2y - z + 4)$$

Pamiętamy, że przy obliczaniu pochodnej cząstkowej po $x$, traktujemy zmienne $y$ i $z$ jako stałe. Obliczamy pochodną każdego składnika funkcji oddzielnie:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= 3x^2 - 0 - y + z + 3 - 0 - 0 + 0 \\ &= 3x^2 - y + z + 3. \end{aligned}$$

Teraz obliczmy pochodną cząstkową względem $y$:

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 - y^4 - xy + xz + 3x - 2y - z + 4)$$

Analogicznie, traktujemy zmienne $x$ i $z$ jako stałe:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y} &= 0 - 4y^3 - x + 0 + 0 - 2 - 0 + 0 \\ &= -4y^3 - x - 2. \end{aligned}$$

Na koniec obliczmy pochodną cząstkową względem $z$:

$$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^3 - y^4 - xy + xz + 3x - 2y - z + 4)$$

Ponownie, $x$ i $y$ traktujemy jako stałe:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial z} &= 0 - 0 - 0 + x + 0 - 0 - 1 + 0 \\ &= x - 1. \end{aligned}$$

Podsumowując, mamy trzy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - y + z + 3, \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -4y^3 - x - 2, \\ \frac{\partial u}{\partial z} = x - 1.$$