Badanie monotoniczności i znajdowanie asymptot funkcji wymiennych z egzaminu z matematyki.

Rozwiążemy najpierw pierwsze zadanie dotyczące badania monotoniczności funkcji $f(x)= \frac{x-3}{x^2-2}$.

Krok 1: Obliczmy pochodną funkcji $f(x)$.

Pochodna funkcji $f(x)$ jest miarą szybkości zmian wartości tej funkcji. Jeśli pochodna jest dodatnia na pewnym przedziale, to funkcja jest rosnąca na tym przedziale. Jeśli pochodna jest ujemna, funkcja jest malejąca.

Pochodna ilorazu obliczana jest według wzoru: $$(f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Stosując ten wzór do funkcji $f(x)$ mamy: $$f'(x) = \left(\frac{x-3}{x^2-2}\right)' = \frac{(x-3)'(x^2-2) - (x-3)(x^2-2)'}{(x^2-2)^2}$$

Obliczmy pochodne składników w liczniku: $$(x-3)' = 1$$ $$(x^2-2)' = 2x$$

Podstawiamy te pochodne do wzoru: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-2) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 2 - 2x^2 + 6x}{(x^2-2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 2}{(x^2-2)^2}$$

Krok 2: Zbadajmy znak pochodnej.

Chcemy wiedzieć, kiedy pochodna jest dodatnia, a kiedy ujemna. Znak pochodnej zależy od licznika, ponieważ mianownik jako kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze dodatni (poza punktami, w których mianownik się zeruje, ale te punkty wykluczamy z dziedziny funkcji, ponieważ dla nich funkcja nie jest określona).

Licznik ma postać funkcji kwadratowej: $$-x^2 + 6x - 2$$

Znajdźmy miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej. Korzystając ze wzorów Viete’a dla funkcji kwadratowej $ax^2+bx+c=0$, wiemy, że miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ spełniają zależności: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Dla naszej funkcji mamy $a=-1$, $b=6$, $c=-2$, więc: $$x_1 + x_2 = -\frac{6}{-1} = 6$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{-1} = 2$$

Rozwiązując te równania, otrzymujemy, że miejsca zerowe to $x_1=2$ i $x_2=4$ (możemy to również wyznaczyć korzystając z metody rozwiązywania równań kwadratowych).

Oznacza to, że funkcja $f(x)$ jest rosnąca na przedziałach $(-\infty, 2)$ i $(4, \infty)$ oraz malejąca na przedziale $(2, 4)$.

Przejdźmy teraz do drugiego zadania dotyczącego znajdowania asymptot wykresu funkcji $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}$.

Asymptoty funkcji to linie, do których wykres funkcji zbliża się w miarę jak $x$ dąży do nieskończoności lub do pewnych wartości skończonych, w których funkcja nie jest określona.

Asymptoty pionowe: występują w punktach, gdzie mianownik się zeruje, ale licznik nie. Mamy więc: $$x^2 - 9 = 0$$ $$(x+3)(x-3) = 0$$ Mamy więc dwie asymptoty pionowe: $x = -3$ i $x = 3$.

Asymptoty poziome: występują, gdy stopień wielomianu w liczniku jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku. Współczynnik przy najwyższej potędze $x$ w liczniku i mianowniku decyduje o równaniu asymptoty. W tym przypadku współczynniki przy $x^2$ w liczniku i mianowniku są równe $1$, więc asymptota pozioma to $y = 1$.

Asymptoty ukośne: nie występują w tym przypadku, ponieważ stopień wielomianu w liczniku nie jest o jeden wyższy od stopnia wielomianu w mianowniku. Asymptoty ukośne pojawiają się tylko wtedy, gdy różnica stopni wielomianów wynosi dokładnie $1$.

Podsumowując, dla funkcji $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}$ mamy: - Asymptoty pionowe: $x = -3$ oraz $x = 3$. - Asymptota pozioma: $y = 1$. - Brak asymptot ukośnych.