Obliczanie pola powierzchni czworościanu na podstawie wektorów

Dodano: 18.01.2024 18:17:13

Obliczyć

Rozwiązanie

Aby obliczyć pole powierzchni czworościanu rozpiętego na wektorach u\vec{u}, v\vec{v}, w\vec{w}, możemy skorzystać z faktu, że pole powierzchni całkowitej czworościanu jest sumą pól powierzchni czterech trójkątów, z których każdy jest określony przez trzy z tych wektorów. Musimy więc obliczyć pole każdego z tych trójkątów i je zsumować.

Pole trójkąta wyznaczonego przez wektory a\vec{a} i b\vec{b} możemy obliczyć korzystając z wzoru na pole trójkąta w przestrzeni, które jest równe połowie długości wektora iloczynu wektorowego tych wektorów:

P=12a×bP = \frac{1}{2} \|\vec{a} \times \vec{b}\|

gdzie a×b\vec{a} \times \vec{b} to iloczyn wektorowy wektorów a\vec{a} i b\vec{b}, a a×b\|\vec{a} \times \vec{b}\| to długość (norma) tego iloczynu wektorowego.

Zatem, aby obliczyć pole powierzchni czworościanu, musimy obliczyć pola czterech trójkątów: - Trójkąt wyznaczony przez wektory u\vec{u} i v\vec{v}, - Trójkąt wyznaczony przez wektory u\vec{u} i w\vec{w}, - Trójkąt wyznaczony przez wektory v\vec{v} i w\vec{w}, - Trójkąt wyznaczony przez wektory u×v\vec{u} \times \vec{v} i w\vec{w} (jako podstawa czworościanu).

Oznaczmy pola tych trójkątów odpowiednio przez PuvP_{uv}, PuwP_{uw}, PvwP_{vw} i PbazaP_{baza}. Mamy wtedy:

Puv=12u×vP_{uv} = \frac{1}{2} \|\vec{u} \times \vec{v}\| Puw=12u×wP_{uw} = \frac{1}{2} \|\vec{u} \times \vec{w}\| Pvw=12v×wP_{vw} = \frac{1}{2} \|\vec{v} \times \vec{w}\| Pbaza=12(u×v)×wP_{baza} = \frac{1}{2} \|(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}\|

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej czworościanu PcP_{c}, sumujemy pola tych trójkątów:

Pc=Puv+Puw+Pvw+PbazaP_{c} = P_{uv} + P_{uw} + P_{vw} + P_{baza}

Potrzebne nam będą konkretne wartości wektorów u\vec{u}, v\vec{v}, w\vec{w}, aby przeprowadzić obliczenia. Jeśli podasz mi te wektory, mogę kontynuować obliczenia.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się