Obliczanie pola powierzchni czworościanu na podstawie wektorów

Aby obliczyć pole powierzchni czworościanu rozpiętego na wektorach $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, możemy skorzystać z faktu, że pole powierzchni całkowitej czworościanu jest sumą pól powierzchni czterech trójkątów, z których każdy jest określony przez trzy z tych wektorów. Musimy więc obliczyć pole każdego z tych trójkątów i je zsumować.

Pole trójkąta wyznaczonego przez wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ możemy obliczyć korzystając z wzoru na pole trójkąta w przestrzeni, które jest równe połowie długości wektora iloczynu wektorowego tych wektorów:

$$P = \frac{1}{2} \|\vec{a} \times \vec{b}\|$$

gdzie $\vec{a} \times \vec{b}$ to iloczyn wektorowy wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$, a $\|\vec{a} \times \vec{b}\|$ to długość (norma) tego iloczynu wektorowego.

Zatem, aby obliczyć pole powierzchni czworościanu, musimy obliczyć pola czterech trójkątów: - Trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, - Trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{u}$ i $\vec{w}$, - Trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{v}$ i $\vec{w}$, - Trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{u} \times \vec{v}$ i $\vec{w}$ (jako podstawa czworościanu).

Oznaczmy pola tych trójkątów odpowiednio przez $P_{uv}$, $P_{uw}$, $P_{vw}$ i $P_{baza}$. Mamy wtedy:

$$P_{uv} = \frac{1}{2} \|\vec{u} \times \vec{v}\|$$ $$P_{uw} = \frac{1}{2} \|\vec{u} \times \vec{w}\|$$ $$P_{vw} = \frac{1}{2} \|\vec{v} \times \vec{w}\|$$ $$P_{baza} = \frac{1}{2} \|(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}\|$$

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej czworościanu $P_{c}$, sumujemy pola tych trójkątów:

$$P_{c} = P_{uv} + P_{uw} + P_{vw} + P_{baza}$$

Potrzebne nam będą konkretne wartości wektorów $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, aby przeprowadzić obliczenia. Jeśli podasz mi te wektory, mogę kontynuować obliczenia.