Rozwiązanie równania macierzowego poprzez wyznacznik – przykład z macierzami kwadratowymi 3x3 i 2x3

Aby rozwiązać to równanie macierzowe, musimy znaleźć macierz $X$ taką, że:

$$\begin{bmatrix} -2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot X^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$$

Gdzie $X^T$ oznacza transpozycję macierzy $X$. Pamiętajmy, że transpozycja macierzy to operacja, która zamienia wiersze macierzy na kolumny i odwrotnie. Zatem jeśli macierz $X$ jest macierzą o wymiarach $3 \times 2$, to $X^T$ będzie macierzą o wymiarach $2 \times 3$.

Równanie, które mamy rozwiązać, można przekształcić do postaci:

$$X^T = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$$

Najpierw musimy znaleźć macierz odwrotną do macierzy:

$$A = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Aby znaleźć macierz odwrotną, skorzystamy z metody wyznaczników. Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy $A$, a potem macierz dopełnień algebraicznych i transponujemy ją, aby otrzymać macierz sprzężoną. Na koniec podzielimy każdy element macierzy sprzężonej przez wyznacznik macierzy $A$, aby otrzymać macierz odwrotną.

Obliczmy wyznacznik macierzy $A$:

$$\det(A) = -2 \cdot 1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \cdot (-1) - ((-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 \cdot 4) = 0 + 0 - 3 - (1 - 0 - 0) = -3 - 1 = -4$$

Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz $A$ jest odwracalna. Następnie znajdźmy macierz dopełnień algebraicznych (macierz adjugowaną):

$$A_{adj} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) & -(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) & (3 \cdot 0 - 1 \cdot 0) \\ -(4 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) & (-(2) \cdot 0 - (-1) \cdot (-1)) & (-(2) \cdot 0 - 4 \cdot 0) \\ (4 \cdot 1 - 1 \cdot 0) & -(-(2) \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) & (-(2) \cdot 0 - 3 \cdot 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & -12 \end{bmatrix}$$

Teraz transponujemy macierz $A_{adj}$, aby uzyskać macierz sprzężoną, a potem podzielimy każdy element tej macierzy przez wyznacznik macierzy $A$:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A_{adj}^T = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

Teraz możemy pomnożyć macierz odwrotną przez macierz z prawej strony równania:

$$X^T = A^{-1} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ -9 & 6 \end{bmatrix}$$

Otrzymaliśmy macierz transponowaną $X^T$. Teraz transponujemy ją ponownie, aby uzyskać macierz $X$:

$$X = \left(X^T\right)^T = \begin{bmatrix} 3 & \frac{1}{2} & -9 \\ -2 & -\frac{3}{2} & 6 \end{bmatrix}$$

To jest szukana macierz $X$.