Rozwiązanie równania wartości bezwzględnej $|5x| = |5 - 3x|$ przy uwzględnieniu różnych przypadków.

Dodano: 11.12.2023 13:10:30

Rozwiązanie

Rozwiążemy równanie 5x=53x|5x| = |5 - 3x|. Równanie to zawiera wartości bezwzględne, więc należy rozważyć różne przypadki, w których wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnych przyjmują wartości dodatnie lub ujemne.

Rozpatrzymy dwa przypadki: 1. 5x05x \geq 0 i 53x05 - 3x \geq 0 2. 5x<05x < 0 i 53x<05 - 3x < 0

Przypadek 1: 5x05x \geq 0 i 53x05 - 3x \geq 0

Jeśli oba wyrażenia są dodatnie lub równe zero, możemy pominąć wartości bezwzględne:

5x=53x5x = 5 - 3x

Przenosimy wszystkie wyrazy z xx na jedną stronę:

5x+3x=55x + 3x = 5

Sumujemy współczynniki przy xx:

8x=58x = 5

Dzielimy obie strony przez 8, aby otrzymać wartość xx:

x=58x = \frac{5}{8}

Sprawdzamy, czy rozwiązanie spełnia warunki początkowe, czyli 5x05x \geq 0 i 53x05 - 3x \geq 0:

5580jest prawdziwe,5 \cdot \frac{5}{8} \geq 0 \quad \text{jest prawdziwe,} 535805158040815802580jest prawdziwe.5 - 3 \cdot \frac{5}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 5 - \frac{15}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{40}{8} - \frac{15}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{8} \geq 0 \quad \text{jest prawdziwe.}

Więc wartość x=58x = \frac{5}{8} jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2: 5x<05x < 0 i 53x<05 - 3x < 0

W tym przypadku oba wyrażenia są ujemne, więc należy zmienić znaki pod wartościami bezwzględnymi:

5x=(53x)-5x = -(5 - 3x)

Ponieważ po obu stronach jest minus, możemy je obie odwrócić, aby uzyskać:

5x=53x5x = 5 - 3x

To równanie zostało już rozwiązane wyżej i wiemy, że jego rozwiązaniem jest x=58x = \frac{5}{8}. Jednak musimy sprawdzić, czy rozwiązanie spełnia warunki 5x<05x < 0 i 53x<05 - 3x < 0:

558<0jest nieprawdziwe (poniewaz˙ wynik jest dodatni),5 \cdot \frac{5}{8} < 0 \quad \text{jest nieprawdziwe (ponieważ wynik jest dodatni),} 5358<0jest nieprawdziwe (poniewaz˙ wynik jest dodatni).5 - 3 \cdot \frac{5}{8} < 0 \quad \text{jest nieprawdziwe (ponieważ wynik jest dodatni).}

Więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

Wniosek:

Równanie 5x=53x|5x| = |5 - 3x| ma tylko jedno rozwiązanie, x=58x = \frac{5}{8}. Iloczyn jednego rozwiązania jest po prostu jego kwadrat, więc:

x2=(58)2=2564x^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}

Odpowiedź to zatem B. 2564\frac{25}{64}.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się