Rozwiązanie równania wartości bezwzględnej $|5x| = |5 - 3x|$ przy uwzględnieniu różnych przypadków.

Rozwiążemy równanie $|5x| = |5 - 3x|$. Równanie to zawiera wartości bezwzględne, więc należy rozważyć różne przypadki, w których wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnych przyjmują wartości dodatnie lub ujemne.

Rozpatrzymy dwa przypadki: 1. $5x \geq 0$ i $5 - 3x \geq 0$ 2. $5x < 0$ i $5 - 3x < 0$

Przypadek 1: $5x \geq 0$ i $5 - 3x \geq 0$

Jeśli oba wyrażenia są dodatnie lub równe zero, możemy pominąć wartości bezwzględne:

$$5x = 5 - 3x$$

Przenosimy wszystkie wyrazy z $x$ na jedną stronę:

$$5x + 3x = 5$$

Sumujemy współczynniki przy $x$:

$$8x = 5$$

Dzielimy obie strony przez 8, aby otrzymać wartość $x$:

$$x = \frac{5}{8}$$

Sprawdzamy, czy rozwiązanie spełnia warunki początkowe, czyli $5x \geq 0$ i $5 - 3x \geq 0$:

$$5 \cdot \frac{5}{8} \geq 0 \quad \text{jest prawdziwe,}$$ $$5 - 3 \cdot \frac{5}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 5 - \frac{15}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{40}{8} - \frac{15}{8} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{8} \geq 0 \quad \text{jest prawdziwe.}$$

Więc wartość $$x = \frac{5}{8}$$ jest rozwiązaniem równania.

Przypadek 2: $5x < 0$ i $5 - 3x < 0$

W tym przypadku oba wyrażenia są ujemne, więc należy zmienić znaki pod wartościami bezwzględnymi:

$$-5x = -(5 - 3x)$$

Ponieważ po obu stronach jest minus, możemy je obie odwrócić, aby uzyskać:

$$5x = 5 - 3x$$

To równanie zostało już rozwiązane wyżej i wiemy, że jego rozwiązaniem jest $$x = \frac{5}{8}$$. Jednak musimy sprawdzić, czy rozwiązanie spełnia warunki $5x < 0$ i $5 - 3x < 0$:

$$5 \cdot \frac{5}{8} < 0 \quad \text{jest nieprawdziwe (ponieważ wynik jest dodatni),}$$ $$5 - 3 \cdot \frac{5}{8} < 0 \quad \text{jest nieprawdziwe (ponieważ wynik jest dodatni).}$$

Więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.

Wniosek:

Równanie $|5x| = |5 - 3x|$ ma tylko jedno rozwiązanie, $$x = \frac{5}{8}$$. Iloczyn jednego rozwiązania jest po prostu jego kwadrat, więc:

$$x^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}$$

Odpowiedź to zatem B. $\frac{25}{64}$.