Pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego - obliczenia dla kwadratu.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy wykonać kilka kroków. Zacznijmy od obliczenia długości krawędzi podstawy ostrosłupa.

1. Obwód podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (kwadratu) wynosi $16$ cm, więc jedna krawędź podstawy ma długość: $$a = \frac{Obwód}{4} = \frac{16\text{ cm}}{4} = 4\text{ cm}$$

2. Teraz, kiedy znamy długość krawędzi podstawy, możemy obliczyć pole podstawy ($P_{\text{pod}}$), która jest kwadratem: $$P_{\text{pod}} = a^2 = (4\text{ cm})^2 = 16\text{ cm}^2$$

3. Kolejnym krokiem jest obliczenie pola jednej ściany bocznej. Jako że mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny, ściany boczne to trójkąty równoramienne, gdzie podstawą jest krawędź podstawy, a wysokość trójkąta ($h$) będziemy musieli obliczyć. Krawędź boczna ostrosłupa ($l$) stanowi przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego jedną z przyprostokątnych jest połowa krawędzi podstawy ($\frac{a}{2}$), a drugą przyprostokątną jest wysokość ściany bocznej ($h$). Aby obliczyć $h$, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$$ $$6^2 = h^2 + \left(\frac{4}{2}\right)^2$$ $$36 = h^2 + 2^2$$ $$36 = h^2 + 4$$ $$h^2 = 36 - 4$$ $$h^2 = 32$$ $$h = \sqrt{32}$$ $$h = 4\sqrt{2}\text{ cm}$$

4. Mając wysokość ściany bocznej, możemy obliczyć pole jednej ściany bocznej ($P_{\text{śc}}$): $$P_{\text{śc}} = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{4\text{ cm} \cdot 4\sqrt{2}\text{ cm}}{2} = \frac{16\sqrt{2}\text{ cm}^2}{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}^2$$

5. Ponieważ mamy cztery ściany boczne, więc pole wszystkich ścian bocznych wynosi: $$P_{\text{ściany}} = 4 \cdot P_{\text{śc}} = 4 \cdot 8\sqrt{2}\text{ cm}^2 = 32\sqrt{2}\text{ cm}^2$$

6. Teraz możemy obliczyć pole całkowite ostrosłupa ($P_{\text{całk}}$), sumując pole podstawy i pole wszystkich ścian bocznych: $$P_{\text{całk}} = P_{\text{pod}} + P_{\text{ściany}} = 16\text{ cm}^2 + 32\sqrt{2}\text{ cm}^2$$

7. Obliczamy końcowy wynik: $$P_{\text{całk}} = 16\text{ cm}^2 + 32\sqrt{2}\text{ cm}^2$$

Pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $16\text{ cm}^2 + 32\sqrt{2}\text{ cm}^2$.