"Badanie dziedziny funkcji kwadratowej w zależności od parametru m"

Aby znaleźć wartości parametru $m$, dla których dziedziną funkcji $f(x)$ jest zbiór liczb rzeczywistych, musimy zbadać wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, ponieważ pierwiastkowanie jest operacją zdefiniowaną tylko dla liczb nieujemnych. Wyrażenie pod pierwiastkiem to wielomian kwadratowy:

$$mx^2 + (m + 2)x + (m + 2)$$

Aby wyrażenie pod pierwiastkiem było nieujemne dla wszystkich $x$ należących do zbioru liczb rzeczywistych, muszą być spełnione dwa warunki: 1. Współczynnik przy najwyższej potędze $x$ (czyli $m$) musi być nieujemny, aby parabola opisana przez wielomian była skierowana “ramionami” do góry. 2. Delta ($\Delta$) tego wielomianu musi być niedodatnia, aby wielomian nie miał rzeczywistych pierwiastków.

Sprawdzimy najpierw pierwszy warunek: $$m \geq 0$$

Teraz obliczymy deltę $\Delta$ dla danego wielomianu kwadratowego: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ gdzie $a=m$, $b=m+2$ oraz $c=m+2$. Wstawiamy te wartości do wzoru na deltę: $$\Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot m \cdot (m+2)$$ $$\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m^2 - 8m$$ $$\Delta = -3m^2 - 4m + 4$$

Delta musi być niedodatnia, więc: $$\Delta \leq 0$$ $$-3m^2 - 4m + 4 \leq 0$$

Aby rozwiązać tę nierówność, możemy wyznaczyć jej pierwiastki lub użyć metody analizy przedziałów. W tym przypadku, skoro mamy do czynienia z funkcją kwadratową, która ma współczynnik przy $m^2$ ujemny, parabola będzie skierowana ramionami w dół, co oznacza, że nierówność jest spełniona między pierwiastkami tej funkcji (o ile istnieją).

Rozwiążemy równanie kwadratowe: $$-3m^2 - 4m + 4 = 0$$

Można to zrobić za pomocą wzorów Viete’a lub po prostu obliczyć pierwiastki korzystając ze wzoru kwadratowego. Użyję wzoru kwadratowego: $$m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

W naszym przypadku $a=-3$, $b=-4$ i $\Delta = 16 - 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 16 + 48 = 64$, więc: $$m_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)}$$ $$m_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{-6}$$ $$m_1 = \frac{4 - 8}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$$ $$m_2 = \frac{4 + 8}{-6} = \frac{12}{-6} = -2$$

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w dół, to nierówność jest spełniona dla $m \in [-2, \frac{2}{3}]$. Jednak musimy pamiętać o pierwszym warunku, który mówił, że $$m \geq 0$$. Łącząc oba warunki, otrzymujemy, że wartości parametru $m$, dla których dziedziną funkcji $f(x)$ jest zbiór liczb rzeczywistych, to: $$m \in [0, \frac{2}{3}]$$