"Badanie dziedziny funkcji kwadratowej w zależności od parametru m"

Dodano: 07.01.2024 22:07:57

Rozwiązanie

Aby znaleźć wartości parametru mm, dla których dziedziną funkcji f(x)f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych, musimy zbadać wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, ponieważ pierwiastkowanie jest operacją zdefiniowaną tylko dla liczb nieujemnych. Wyrażenie pod pierwiastkiem to wielomian kwadratowy:

mx2+(m+2)x+(m+2)mx^2 + (m + 2)x + (m + 2)

Aby wyrażenie pod pierwiastkiem było nieujemne dla wszystkich xx należących do zbioru liczb rzeczywistych, muszą być spełnione dwa warunki: 1. Współczynnik przy najwyższej potędze xx (czyli mm) musi być nieujemny, aby parabola opisana przez wielomian była skierowana “ramionami” do góry. 2. Delta (Δ\Delta) tego wielomianu musi być niedodatnia, aby wielomian nie miał rzeczywistych pierwiastków.

Sprawdzimy najpierw pierwszy warunek: m0m \geq 0

Teraz obliczymy deltę Δ\Delta dla danego wielomianu kwadratowego: Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac gdzie a=ma=m, b=m+2b=m+2 oraz c=m+2c=m+2. Wstawiamy te wartości do wzoru na deltę: Δ=(m+2)24m(m+2)\Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot m \cdot (m+2) Δ=m2+4m+44m28m\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m^2 - 8m Δ=3m24m+4\Delta = -3m^2 - 4m + 4

Delta musi być niedodatnia, więc: Δ0\Delta \leq 0 3m24m+40-3m^2 - 4m + 4 \leq 0

Aby rozwiązać tę nierówność, możemy wyznaczyć jej pierwiastki lub użyć metody analizy przedziałów. W tym przypadku, skoro mamy do czynienia z funkcją kwadratową, która ma współczynnik przy m2m^2 ujemny, parabola będzie skierowana ramionami w dół, co oznacza, że nierówność jest spełniona między pierwiastkami tej funkcji (o ile istnieją).

Rozwiążemy równanie kwadratowe: 3m24m+4=0-3m^2 - 4m + 4 = 0

Można to zrobić za pomocą wzorów Viete’a lub po prostu obliczyć pierwiastki korzystając ze wzoru kwadratowego. Użyję wzoru kwadratowego: m1,2=b±Δ2am_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

W naszym przypadku a=3a=-3, b=4b=-4 i Δ=164(3)4=16+48=64\Delta = 16 - 4 \cdot (-3) \cdot 4 = 16 + 48 = 64, więc: m1,2=(4)±642(3)m_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} m1,2=4±86m_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{-6} m1=486=46=23m_1 = \frac{4 - 8}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3} m2=4+86=126=2m_2 = \frac{4 + 8}{-6} = \frac{12}{-6} = -2

Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w dół, to nierówność jest spełniona dla m[2,23]m \in [-2, \frac{2}{3}]. Jednak musimy pamiętać o pierwszym warunku, który mówił, że m0m \geq 0. Łącząc oba warunki, otrzymujemy, że wartości parametru mm, dla których dziedziną funkcji f(x)f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych, to: m[0,23]m \in [0, \frac{2}{3}]

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się