Suma logarytmów przy użyciu własności logarytmów

Rozwiążemy to zadanie krok po kroku, korzystając z własności logarytmów.

Mamy obliczyć sumę: $$2\log_{10}\sqrt{10} + \log_{10}10^3$$

Zacznijmy od pierwszego wyrażenia. Z własności logarytmów wiemy, że $\log_{a}a^k = k$, zatem: $$\log_{10}10 = 1$$

Ponadto, pierwiastek kwadratowy z liczby to ta liczba podniesiona do potęgi $\frac{1}{2}$, czyli: $$\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$$

Podstawiając to do pierwszego wyrażenia, otrzymujemy: $$2\log_{10}10^{\frac{1}{2}}$$

Z własności logarytmów $\log_{a}b^k = k\log_{a}b$, więc: $$2\log_{10}10^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_{10}10 = 1 \cdot \log_{10}10 = 1$$

Przejdźmy teraz do drugiego wyrażenia: $$\log_{10}10^3$$

Znowu korzystając z własności logarytmów, mamy: $$\log_{10}10^3 = 3 \cdot \log_{10}10 = 3 \cdot 1 = 3$$

Teraz dodajemy oba wyniki: $$1 + 3 = 4$$

Odpowiedź to więc $4$, co odpowiada odpowiedzi C.