Rozwiązanie równania z wykorzystaniem sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.

Aby rozwiązać to równanie, zauważmy najpierw, że składniki po lewej stronie tworzą ciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz to $a_1 = 2x + 1$, a różnica ciągu wynosi $d = 4$ (bo każdy kolejny wyraz jest o 4 większy niż poprzedni).

Możemy teraz użyć wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, który wygląda następująco: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$

Z treści zadania wiemy, że suma wyrazów tego ciągu wynosi 155. Aby znaleźć liczbę wyrazów, musimy zauważyć, że ostatni wyraz ciągu to $2x + 28$. Różnica między ostatnim a pierwszym wyrazem wynosi $28 - 1 = 27$, co oznacza, że musimy dodać tyle razy $d$, aby otrzymać 27, czyli: $$27 = (n-1)d$$ $$27 = (n-1) \cdot 4$$ $$n-1 = \frac{27}{4}$$ Ale ponieważ $n$ musi być liczbą całkowitą (nie można mieć ułamkowej liczby wyrazów ciągu), to dzielimy 27 przez 4 otrzymując 6 z resztą 3, więc $n-1$ musi być równe 6. To oznacza, że: $$n = 7$$

Teraz możemy podstawić wartości do wzoru na sumę wyrazów ciągu: $$155 = \frac{7}{2}(2(2x + 1) + (7-1) \cdot 4)$$ Uprośćmy równanie: $$155 = \frac{7}{2}(4x + 2 + 24)$$ $$155 = \frac{7}{2}(4x + 26)$$ $$155 = 7(2x + 13)$$ $$155 = 14x + 91$$

Odejmujemy 91 od obu stron równania: $$155 - 91 = 14x$$ $$64 = 14x$$

Dzielimy obie strony przez 14, aby znaleźć $x$: $$x = \frac{64}{14}$$ $$x = \frac{32}{7}$$ $$x = 4\frac{4}{7}$$

Ostatecznym rozwiązaniem równania jest $$x = 4\frac{4}{7}$$.