Rozwiązanie równania z wykorzystaniem sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.

Dodano: 21.12.2023 17:23:33

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to równanie, zauważmy najpierw, że składniki po lewej stronie tworzą ciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz to a1=2x+1a_1 = 2x + 1, a różnica ciągu wynosi d=4d = 4 (bo każdy kolejny wyraz jest o 4 większy niż poprzedni).

Możemy teraz użyć wzoru na sumę nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, który wygląda następująco: Sn=n2(2a1+(n1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

Z treści zadania wiemy, że suma wyrazów tego ciągu wynosi 155. Aby znaleźć liczbę wyrazów, musimy zauważyć, że ostatni wyraz ciągu to 2x+282x + 28. Różnica między ostatnim a pierwszym wyrazem wynosi 281=2728 - 1 = 27, co oznacza, że musimy dodać tyle razy dd, aby otrzymać 27, czyli: 27=(n1)d27 = (n-1)d 27=(n1)427 = (n-1) \cdot 4 n1=274n-1 = \frac{27}{4} Ale ponieważ nn musi być liczbą całkowitą (nie można mieć ułamkowej liczby wyrazów ciągu), to dzielimy 27 przez 4 otrzymując 6 z resztą 3, więc n1n-1 musi być równe 6. To oznacza, że: n=7n = 7

Teraz możemy podstawić wartości do wzoru na sumę wyrazów ciągu: 155=72(2(2x+1)+(71)4)155 = \frac{7}{2}(2(2x + 1) + (7-1) \cdot 4) Uprośćmy równanie: 155=72(4x+2+24)155 = \frac{7}{2}(4x + 2 + 24) 155=72(4x+26)155 = \frac{7}{2}(4x + 26) 155=7(2x+13)155 = 7(2x + 13) 155=14x+91155 = 14x + 91

Odejmujemy 91 od obu stron równania: 15591=14x155 - 91 = 14x 64=14x64 = 14x

Dzielimy obie strony przez 14, aby znaleźć xx: x=6414x = \frac{64}{14} x=327x = \frac{32}{7} x=447x = 4\frac{4}{7}

Ostatecznym rozwiązaniem równania jest x=447x = 4\frac{4}{7}.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się