Rozwiązanie granic ciągu liczbowego krok po kroku.

Dodano: 16.01.2024 10:44:43

Rozwiązanie

Rozwiążemy krok po kroku każdą z podanych granic ciągu liczbowego.

(a) limnnn+2=1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1

Aby to udowodnić, rozważmy wyrażenie pod granicą i przekształćmy je: nn+2=n(1)n(1+2n)=11+2n\frac{n}{n+2} = \frac{n(1)}{n(1+\frac{2}{n})} = \frac{1}{1+\frac{2}{n}} Gdy nn dąży do nieskończoności, wyrażenie 2n\frac{2}{n} dąży do zera, zatem cały mianownik dąży do 1. Stąd: limnnn+2=limn11+2n=11+0=1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1

(b) limnn2+12n=+\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{2n} = +\infty

W przypadku tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez nn, aby zobaczyć, jak zachowuje się wyrażenie, gdy nn jest bardzo duże: n2+12n=n22n+12n=n2+12n\frac{n^2+1}{2n} = \frac{n^2}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2n} Gdy nn dąży do nieskończoności, pierwszy składnik n2\frac{n}{2} dąży do nieskończoności, a drugi składnik 12n\frac{1}{2n} dąży do zera. To oznacza, że cała granica dąży do nieskończoności: limnn2+12n=limn(n2+12n)=+\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{2n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2n}\right) = +\infty

(c) limnn+4n+22\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} \neq 2

Aby to udowodnić, przekształćmy wyrażenie podobnie jak w punkcie (a): n+4n+2=n(1+4n)n(1+2n)=1+4n1+2n\frac{n+4}{n+2} = \frac{n(1+\frac{4}{n})}{n(1+\frac{2}{n})} = \frac{1+\frac{4}{n}}{1+\frac{2}{n}} Gdy nn dąży do nieskończoności, wyrażenia 4n\frac{4}{n} oraz 2n\frac{2}{n} dążą do zera. Otrzymujemy więc: limnn+4n+2=limn1+4n1+2n=1+01+0=1\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+\frac{4}{n}}{1+\frac{2}{n}} = \frac{1+0}{1+0} = 1 Widzimy zatem, że granica ta dąży do 1, a nie do 2, co oznacza, że limnn+4n+22\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} \neq 2.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się