Rozwiążemy krok po kroku każdą z podanych granic ciągu liczbowego.
(a) n→∞limn+2n=1
Aby to udowodnić, rozważmy wyrażenie pod granicą i przekształćmy je:
n+2n=n(1+n2)n(1)=1+n21
Gdy n dąży do nieskończoności, wyrażenie n2 dąży do zera, zatem cały mianownik dąży do 1. Stąd:
n→∞limn+2n=n→∞lim1+n21=1+01=1
(b) n→∞lim2nn2+1=+∞
W przypadku tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez n, aby zobaczyć, jak zachowuje się wyrażenie, gdy n jest bardzo duże:
2nn2+1=2nn2+2n1=2n+2n1
Gdy n dąży do nieskończoności, pierwszy składnik 2n dąży do nieskończoności, a drugi składnik 2n1 dąży do zera. To oznacza, że cała granica dąży do nieskończoności:
n→∞lim2nn2+1=n→∞lim(2n+2n1)=+∞
(c) n→∞limn+2n+4=2
Aby to udowodnić, przekształćmy wyrażenie podobnie jak w punkcie (a):
n+2n+4=n(1+n2)n(1+n4)=1+n21+n4
Gdy n dąży do nieskończoności, wyrażenia n4 oraz n2 dążą do zera. Otrzymujemy więc:
n→∞limn+2n+4=n→∞lim1+n21+n4=1+01+0=1
Widzimy zatem, że granica ta dąży do 1, a nie do 2, co oznacza, że n→∞limn+2n+4=2.