Rozwiązanie granic ciągu liczbowego krok po kroku.

Rozwiążemy krok po kroku każdą z podanych granic ciągu liczbowego.

(a) $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1$

Aby to udowodnić, rozważmy wyrażenie pod granicą i przekształćmy je: $$\frac{n}{n+2} = \frac{n(1)}{n(1+\frac{2}{n})} = \frac{1}{1+\frac{2}{n}}$$ Gdy $n$ dąży do nieskończoności, wyrażenie $\frac{2}{n}$ dąży do zera, zatem cały mianownik dąży do 1. Stąd: $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1$$

(b) $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{2n} = +\infty$

W przypadku tej granicy podzielimy licznik i mianownik przez $n$, aby zobaczyć, jak zachowuje się wyrażenie, gdy $n$ jest bardzo duże: $$\frac{n^2+1}{2n} = \frac{n^2}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2n}$$ Gdy $n$ dąży do nieskończoności, pierwszy składnik $\frac{n}{2}$ dąży do nieskończoności, a drugi składnik $\frac{1}{2n}$ dąży do zera. To oznacza, że cała granica dąży do nieskończoności: $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{2n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2n}\right) = +\infty$$

(c) $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} \neq 2$

Aby to udowodnić, przekształćmy wyrażenie podobnie jak w punkcie (a): $$\frac{n+4}{n+2} = \frac{n(1+\frac{4}{n})}{n(1+\frac{2}{n})} = \frac{1+\frac{4}{n}}{1+\frac{2}{n}}$$ Gdy $n$ dąży do nieskończoności, wyrażenia $\frac{4}{n}$ oraz $\frac{2}{n}$ dążą do zera. Otrzymujemy więc: $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+\frac{4}{n}}{1+\frac{2}{n}} = \frac{1+0}{1+0} = 1$$ Widzimy zatem, że granica ta dąży do 1, a nie do 2, co oznacza, że $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+4}{n+2} \neq 2$.