Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru z pojemników z kulami białymi i czarnymi.

Dodano: 04.03.2024 22:12:20

Z pojemnika zawierającego 4 kule białe i 3 kule czarne losujemy jedną kulę i nie oglądając jej wkładamy do drugiego pojemnika w którym początkowo było 5 kul czarnych i 4 kule białe. Następnie z drugiego pojemnika losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo że będą one tego samego koloru?

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, musimy rozważyć wszystkie możliwe scenariusze losowania kul z obu pojemników i obliczyć prawdopodobieństwo dla każdego z nich. Następnie zsumujemy prawdopodobieństwa tych scenariuszy, które spełniają warunek zadania, czyli wylosowania dwóch kul tego samego koloru z drugiego pojemnika.

Scenariusz 1: Losujemy białą kulę z pierwszego pojemnika i wkładamy ją do drugiego.

W pierwszym pojemniku jest 4 białe kule i 3 czarne, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi 44+3=47\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}.

Po przeniesieniu białej kuli do drugiego pojemnika, mamy tam 5 białych i 5 czarnych kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul z tego pojemnika wynosi 51049\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} (ponieważ po wylosowaniu pierwszej białej kuli pozostaje nam 4 białe kule na 9 kul w pojemniku). Analogicznie, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych kul wynosi 51049\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}.

Scenariusz 2: Losujemy czarną kulę z pierwszego pojemnika i wkładamy ją do drugiego.

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli z pierwszego pojemnika wynosi 34+3=37\frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}.

Po przeniesieniu czarnej kuli do drugiego pojemnika, mamy tam 6 czarnych i 4 białe kule. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych kul z tego pojemnika wynosi 61059\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}, a prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul wynosi 41039\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}.

Teraz obliczymy prawdopodobieństwo dla każdego scenariusza:

Scenariusz 1: P(dwie białe)=4751049=471249=863P(\text{dwie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{63} P(dwie czarne)=4751049=863P(\text{dwie czarne}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{63}

Scenariusz 2: P(dwie czarne)=3761059=373559=963P(\text{dwie czarne}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{63} P(dwie białe)=3741039=372513=235P(\text{dwie białe}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{35}

Sumujemy prawdopodobieństwa dla scenariuszy, które skutkują wylosowaniem dwóch kul tego samego koloru: P(tego samego koloru)=P(dwie białe1)+P(dwie czarne1)+P(dwie czarne2)+P(dwie białe2)P(\text{tego samego koloru}) = P(\text{dwie białe}_1) + P(\text{dwie czarne}_1) + P(\text{dwie czarne}_2) + P(\text{dwie białe}_2) =863+863+963+235= \frac{8}{63} + \frac{8}{63} + \frac{9}{63} + \frac{2}{35}

Teraz wystarczy to dodać: P(tego samego koloru)=8+8+963+235=2563+235P(\text{tego samego koloru}) = \frac{8+8+9}{63} + \frac{2}{35} = \frac{25}{63} + \frac{2}{35}

Ponieważ 63=9×763 = 9 \times 7 i 35=5×735 = 5 \times 7, musimy przekształcić drugi ułamek, aby miał wspólny mianownik 6363: 235=2×935×9=18315\frac{2}{35} = \frac{2 \times 9}{35 \times 9} = \frac{18}{315}

Teraz, ponieważ 315=63×5315 = 63 \times 5, musimy również przekształcić pierwszy ułamek, aby miał wspólny mianownik 315315: 2563=25×563×5=125315\frac{25}{63} = \frac{25 \times 5}{63 \times 5} = \frac{125}{315}

Zatem: P(tego samego koloru)=125315+18315=143315P(\text{tego samego koloru}) = \frac{125}{315} + \frac{18}{315} = \frac{143}{315}

Ostatecznie, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru wynosi 143315\frac{143}{315}.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się