Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru z pojemników z kulami białymi i czarnymi.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy rozważyć wszystkie możliwe scenariusze losowania kul z obu pojemników i obliczyć prawdopodobieństwo dla każdego z nich. Następnie zsumujemy prawdopodobieństwa tych scenariuszy, które spełniają warunek zadania, czyli wylosowania dwóch kul tego samego koloru z drugiego pojemnika.

Scenariusz 1: Losujemy białą kulę z pierwszego pojemnika i wkładamy ją do drugiego.

W pierwszym pojemniku jest 4 białe kule i 3 czarne, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi $\frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$.

Po przeniesieniu białej kuli do drugiego pojemnika, mamy tam 5 białych i 5 czarnych kul. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul z tego pojemnika wynosi $\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}$ (ponieważ po wylosowaniu pierwszej białej kuli pozostaje nam 4 białe kule na 9 kul w pojemniku). Analogicznie, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych kul wynosi $\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9}$.

Scenariusz 2: Losujemy czarną kulę z pierwszego pojemnika i wkładamy ją do drugiego.

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli z pierwszego pojemnika wynosi $\frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$.

Po przeniesieniu czarnej kuli do drugiego pojemnika, mamy tam 6 czarnych i 4 białe kule. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych kul z tego pojemnika wynosi $\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}$, a prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul wynosi $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}$.

Teraz obliczymy prawdopodobieństwo dla każdego scenariusza:

Scenariusz 1: $$P(\text{dwie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{63}$$ $$P(\text{dwie czarne}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{63}$$

Scenariusz 2: $$P(\text{dwie czarne}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{63}$$ $$P(\text{dwie białe}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{35}$$

Sumujemy prawdopodobieństwa dla scenariuszy, które skutkują wylosowaniem dwóch kul tego samego koloru: $$P(\text{tego samego koloru}) = P(\text{dwie białe}_1) + P(\text{dwie czarne}_1) + P(\text{dwie czarne}_2) + P(\text{dwie białe}_2)$$ $$= \frac{8}{63} + \frac{8}{63} + \frac{9}{63} + \frac{2}{35}$$

Teraz wystarczy to dodać: $$P(\text{tego samego koloru}) = \frac{8+8+9}{63} + \frac{2}{35} = \frac{25}{63} + \frac{2}{35}$$

Ponieważ $63 = 9 \times 7$ i $35 = 5 \times 7$, musimy przekształcić drugi ułamek, aby miał wspólny mianownik $63$: $$\frac{2}{35} = \frac{2 \times 9}{35 \times 9} = \frac{18}{315}$$

Teraz, ponieważ $315 = 63 \times 5$, musimy również przekształcić pierwszy ułamek, aby miał wspólny mianownik $315$: $$\frac{25}{63} = \frac{25 \times 5}{63 \times 5} = \frac{125}{315}$$

Zatem: $$P(\text{tego samego koloru}) = \frac{125}{315} + \frac{18}{315} = \frac{143}{315}$$

Ostatecznie, prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru wynosi $\frac{143}{315}$.