Znajdź równanie, dla którego suma rozwiązań jest największa.

Zadanie polega na znalezieniu równania, dla którego suma rozwiązań jest największa. Aby to zrobić, musimy znaleźć rozwiązania każdego z równań i obliczyć ich sumy.

Rozwiążmy każde równanie po kolei.

A) $3(x+4)(2-3x)=0$

Równanie jest w postaci iloczynowej, więc każdy z czynników może być równy zero.

$$\begin{aligned} &3(x+4)=0 \quad \text{oraz} \quad 2-3x=0 \\ &x+4=0 \quad \text{oraz} \quad 2=3x \\ &x=-4 \quad \text{oraz} \quad x=\frac{2}{3} \end{aligned}$$

Suma rozwiązań dla równania A wynosi $-4 + \frac{2}{3} = -\frac{10}{3}$.

B) $(x-1)^2-9=0$

To równanie można przekształcić do postaci $(x-1-3)(x-1+3)=0$, czyli $(x-4)(x+2)=0$, więc:

$$\begin{aligned} &x-4=0 \quad \text{oraz} \quad x+2=0 \\ &x=4 \quad \text{oraz} \quad x=-2 \end{aligned}$$

Suma rozwiązań dla równania B wynosi $4 + (-2) = 2$.

C) $x^2-5x=0$

Możemy wyłączyć $x$ przed nawias:

$$\begin{aligned} &x(x-5)=0 \\ &x=0 \quad \text{oraz} \quad x-5=0 \\ &x=0 \quad \text{oraz} \quad x=5 \end{aligned}$$

Suma rozwiązań dla równania C wynosi $0 + 5 = 5$.

D) $6x^2-7=0$

Równanie kwadratowe. Aby znaleźć rozwiązania, przenosimy 7 na drugą stronę równania i dzielimy przez 6:

$$\begin{aligned} &6x^2=7 \\ &x^2=\frac{7}{6} \\ &x=\pm\sqrt{\frac{7}{6}}=\pm\frac{\sqrt{42}}{6} \end{aligned}$$

Suma rozwiązań dla równania D wynosi $\frac{\sqrt{42}}{6} + \left(-\frac{\sqrt{42}}{6}\right) = 0$.

Spośród wszystkich równań, suma rozwiązań jest największa dla równania C), gdzie suma wynosi $5$.