Czas potrzebny kołu na osiągnięcie określonej prędkości kątowej poprzez zależność między prędkościami kątowymi różnych kół połączonych paskiem.

Aby rozwiązać to zadanie, należy wykorzystać zależność między prędkością kątową a liniową dla koła, a także związek między prędkościami kątowymi koła $a$ i koła $b$ poprzez pasek, który łączy oba koła.

Prędkość liniowa $v$ na obwodzie koła jest związana z prędkością kątową $\omega$ i promieniem $r$ wzorem: $$v = r\omega$$

Ponieważ koła są połączone paskiem, prędkości liniowe na ich obwodach muszą być równe, aby nie dochodziło do poślizgu. Oznacza to, że: $$v_a = r_a \omega_a = v_b = R_b \omega_b$$

Gdzie: - $v_a$ i $v_b$ to prędkości liniowe koła $a$ i koła $b$ odpowiednio, - $r_a$ i $R_b$ to promienie koła $a$ i koła $b$ odpowiednio, - $\omega_a$ i $\omega_b$ to prędkości kątowe koła $a$ i koła $b$ odpowiednio.

Z powyższego wynika, że: $$r_a \omega_a = R_b \omega_b$$ $$\omega_b = \frac{r_a}{R_b} \omega_a$$

Z treści zadania wiemy, że koło $a$ zwiększa swoją prędkość kątową z przyspieszeniem kątowym $\alpha = \frac{\pi}{2}$ rad/s². Prędkość kątowa $\omega$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest dana wzorem: $$\omega = \omega_0 + \alpha t$$ gdzie $\omega_0$ to prędkość początkowa, która w tym przypadku wynosi 0, ponieważ zakładamy, że koło zaczyna od spoczynku.

Prędkość kątowa koła $b$ w obr./s, którą chcemy osiągnąć, wynosi 100 obr./s. Musimy przekształcić tę wartość na radiany/s, ponieważ przyspieszenie jest wyrażone w radianach. Skoro jedno pełne obroty to $2\pi$ radianów, to 100 obr./s to: $$100 \cdot 2\pi \text{ rad/s} = 200\pi \text{ rad/s}$$

Teraz możemy wykorzystać nasze równania do znalezienia czasu $t$ potrzebnego kołu $b$ na osiągnięcie prędkości kątowej $200\pi$ rad/s. $$\omega_b = \frac{r_a}{R_b} \omega_a$$ $$200\pi = \frac{10}{25} (\alpha t)$$ $$200\pi = \frac{2}{5} \left(\frac{\pi}{2} t\right)$$ $$200\pi = \frac{\pi}{5} t$$ $$t = 200\pi \cdot \frac{5}{\pi}$$ $$t = 200 \cdot 5$$ $$t = 1000 \text{ s}$$

Czas potrzebny kołu $b$ na osiągnięcie prędkości kątowej 100 obr./s wynosi więc 1000 sekund.