Czas potrzebny kołu na osiągnięcie określonej prędkości kątowej poprzez zależność między prędkościami kątowymi różnych kół połączonych paskiem.

Dodano: 06.12.2023 13:40:13

Koło a o promieniu ra = 10cm połączone jest paskiem z kołem b o promieniu Rb = 25 cm. Kolo a zwiększa swoją prędkość kątowa jednostajnie o pi/2 rad/s2. Znajdź czas po którym kolo b osiągnie prędkość kątowa 100 obr./s.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie, należy wykorzystać zależność między prędkością kątową a liniową dla koła, a także związek między prędkościami kątowymi koła aa i koła bb poprzez pasek, który łączy oba koła.

Prędkość liniowa vv na obwodzie koła jest związana z prędkością kątową ω\omega i promieniem rr wzorem: v=rωv = r\omega

Ponieważ koła są połączone paskiem, prędkości liniowe na ich obwodach muszą być równe, aby nie dochodziło do poślizgu. Oznacza to, że: va=raωa=vb=Rbωbv_a = r_a \omega_a = v_b = R_b \omega_b

Gdzie: - vav_a i vbv_b to prędkości liniowe koła aa i koła bb odpowiednio, - rar_a i RbR_b to promienie koła aa i koła bb odpowiednio, - ωa\omega_a i ωb\omega_b to prędkości kątowe koła aa i koła bb odpowiednio.

Z powyższego wynika, że: raωa=Rbωbr_a \omega_a = R_b \omega_b ωb=raRbωa\omega_b = \frac{r_a}{R_b} \omega_a

Z treści zadania wiemy, że koło aa zwiększa swoją prędkość kątową z przyspieszeniem kątowym α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} rad/s². Prędkość kątowa ω\omega w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest dana wzorem: ω=ω0+αt\omega = \omega_0 + \alpha t gdzie ω0\omega_0 to prędkość początkowa, która w tym przypadku wynosi 0, ponieważ zakładamy, że koło zaczyna od spoczynku.

Prędkość kątowa koła bb w obr./s, którą chcemy osiągnąć, wynosi 100 obr./s. Musimy przekształcić tę wartość na radiany/s, ponieważ przyspieszenie jest wyrażone w radianach. Skoro jedno pełne obroty to 2π2\pi radianów, to 100 obr./s to: 1002π rad/s=200π rad/s100 \cdot 2\pi \text{ rad/s} = 200\pi \text{ rad/s}

Teraz możemy wykorzystać nasze równania do znalezienia czasu tt potrzebnego kołu bb na osiągnięcie prędkości kątowej 200π200\pi rad/s. ωb=raRbωa\omega_b = \frac{r_a}{R_b} \omega_a 200π=1025(αt)200\pi = \frac{10}{25} (\alpha t) 200π=25(π2t)200\pi = \frac{2}{5} \left(\frac{\pi}{2} t\right) 200π=π5t200\pi = \frac{\pi}{5} t t=200π5πt = 200\pi \cdot \frac{5}{\pi} t=2005t = 200 \cdot 5 t=1000 st = 1000 \text{ s}

Czas potrzebny kołu bb na osiągnięcie prędkości kątowej 100 obr./s wynosi więc 1000 sekund.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się