Objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o znanej wysokości i kącie nachylenia.

Dodano: 05.02.2024 17:18:45

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Wiedząc że wysokość ostrosłupa ma długość 8 cm oblicz objętość oraz pole powierzchni bocznej ostroslupa

Rozwiązanie

Rozwiążemy to zadanie w kilku krokach.

Krok 1: Zrozumienie zadania.

Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny, co oznacza, że jego podstawa jest kwadratem, a wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości i tworzą z podstawą kąt 6060^\circ. Wysokość ostrosłupa (odległość od wierzchołka do środka podstawy) wynosi 88 cm.

Krok 2: Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z połową długości przekątnej podstawy i krawędzią boczną. Ponieważ kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi 6060^\circ, możemy użyć funkcji trygonometrycznych do znalezienia połowy długości przekątnej podstawy. Skorzystamy z funkcji sinus:

sin(60)=hlb,\sin(60^\circ) = \frac{h}{l_b},

gdzie hh to wysokość ostrosłupa, a lbl_b to długość krawędzi bocznej.

Znamy wysokość h=8h = 8 cm, więc:

sin(60)=8lb.\sin(60^\circ) = \frac{8}{l_b}.

Sinus 6060^\circ to 32\frac{\sqrt{3}}{2}, więc:

32=8lb.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{l_b}.

Rozwiązujemy to równanie względem lbl_b:

lb=823=16333=1633 cm.l_b = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.

Mamy teraz długość krawędzi bocznej. Teraz obliczymy połowę długości przekątnej podstawy (d/2d/2) używając trójkąta prostokątnego i tangensa kąta 6060^\circ:

tan(60)=hd/2d/2=htan(60)=8333=833 cm.\tan(60^\circ) = \frac{h}{d/2} \Rightarrow d/2 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.

Wiemy, że przekątna kwadratu o boku aa wynosi a2a\sqrt{2}, więc:

d=a2=2833=1633 cm.d = a\sqrt{2} = 2\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.

Teraz możemy wyznaczyć długość boku podstawy:

a2=1633a=16332=1633222=1666=863 cm.a\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \Rightarrow a = \frac{16\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{3\cdot\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{6}}{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \text{ cm}.

Krok 3: Obliczenie objętości ostrosłupa.

Objętość VV ostrosłupa można wyznaczyć ze wzoru:

V=13SpH,V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot H,

gdzie SpS_p to pole podstawy, a HH to wysokość ostrosłupa.

Pole podstawy to pole kwadratu o boku a=863a = \frac{8\sqrt{6}}{3} cm, więc:

Sp=a2=(863)2=6469=3849 cm2.S_p = a^2 = \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{64 \cdot 6}{9} = \frac{384}{9} \text{ cm}^2.

Wysokość HH wynosi 88 cm, więc:

V=1338498=38438=1288=1024 cm3.V = \frac{1}{3} \cdot \frac{384}{9} \cdot 8 = \frac{384}{3} \cdot 8 = 128 \cdot 8 = 1024 \text{ cm}^3.

Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej SbS_b to suma pól wszystkich czterech trójkątów równoramiennych o podstawie aa i wysokości lbl_b:

Sb=412alb=2alb=28631633=128189 cm2.S_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l_b = 2 \cdot a \cdot l_b = 2 \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{18}}{9} \text{ cm}^2.

Podsumowując, objętość ostrosłupa wynosi 10241024 cm3^3, a pole powierzchni bocznej wynosi 128189\frac{128\sqrt{18}}{9} cm2^2.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się