Objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o znanej wysokości i kącie nachylenia.

Rozwiążemy to zadanie w kilku krokach.

Krok 1: Zrozumienie zadania.

Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny, co oznacza, że jego podstawa jest kwadratem, a wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości i tworzą z podstawą kąt $60^\circ$. Wysokość ostrosłupa (odległość od wierzchołka do środka podstawy) wynosi $8$ cm.

Krok 2: Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z połową długości przekątnej podstawy i krawędzią boczną. Ponieważ kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi $60^\circ$, możemy użyć funkcji trygonometrycznych do znalezienia połowy długości przekątnej podstawy. Skorzystamy z funkcji sinus:

$$\sin(60^\circ) = \frac{h}{l_b},$$

gdzie $h$ to wysokość ostrosłupa, a $l_b$ to długość krawędzi bocznej.

Znamy wysokość $h = 8$ cm, więc:

$$\sin(60^\circ) = \frac{8}{l_b}.$$

Sinus $60^\circ$ to $\frac{\sqrt{3}}{2}$, więc:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{l_b}.$$

Rozwiązujemy to równanie względem $l_b$:

$$l_b = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.$$

Mamy teraz długość krawędzi bocznej. Teraz obliczymy połowę długości przekątnej podstawy ($d/2$) używając trójkąta prostokątnego i tangensa kąta $60^\circ$:

$$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d/2} \Rightarrow d/2 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.$$

Wiemy, że przekątna kwadratu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{2}$, więc:

$$d = a\sqrt{2} = 2\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.$$

Teraz możemy wyznaczyć długość boku podstawy:

$$a\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \Rightarrow a = \frac{16\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{3\cdot\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{6}}{6} = \frac{8\sqrt{6}}{3} \text{ cm}.$$

Krok 3: Obliczenie objętości ostrosłupa.

Objętość $V$ ostrosłupa można wyznaczyć ze wzoru:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot H,$$

gdzie $S_p$ to pole podstawy, a $H$ to wysokość ostrosłupa.

Pole podstawy to pole kwadratu o boku $a = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ cm, więc:

$$S_p = a^2 = \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{64 \cdot 6}{9} = \frac{384}{9} \text{ cm}^2.$$

Wysokość $H$ wynosi $8$ cm, więc:

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{384}{9} \cdot 8 = \frac{384}{3} \cdot 8 = 128 \cdot 8 = 1024 \text{ cm}^3.$$

Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej $S_b$ to suma pól wszystkich czterech trójkątów równoramiennych o podstawie $a$ i wysokości $l_b$:

$$S_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l_b = 2 \cdot a \cdot l_b = 2 \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{18}}{9} \text{ cm}^2.$$

Podsumowując, objętość ostrosłupa wynosi $1024$ cm$^3$, a pole powierzchni bocznej wynosi $\frac{128\sqrt{18}}{9}$ cm$^2$.