Dodano: 05.02.2024 17:18:45
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Wiedząc że wysokość ostrosłupa ma długość 8 cm oblicz objętość oraz pole powierzchni bocznej ostroslupa
Rozwiążemy to zadanie w kilku krokach.
Krok 1: Zrozumienie zadania.
Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny, co oznacza, że jego podstawa jest kwadratem, a wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości i tworzą z podstawą kąt . Wysokość ostrosłupa (odległość od wierzchołka do środka podstawy) wynosi cm.
Krok 2: Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wysokość ostrosłupa tworzy trójkąt prostokątny z połową długości przekątnej podstawy i krawędzią boczną. Ponieważ kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi , możemy użyć funkcji trygonometrycznych do znalezienia połowy długości przekątnej podstawy. Skorzystamy z funkcji sinus:
gdzie to wysokość ostrosłupa, a to długość krawędzi bocznej.
Znamy wysokość cm, więc:
Sinus to , więc:
Rozwiązujemy to równanie względem :
Mamy teraz długość krawędzi bocznej. Teraz obliczymy połowę długości przekątnej podstawy () używając trójkąta prostokątnego i tangensa kąta :
Wiemy, że przekątna kwadratu o boku wynosi , więc:
Teraz możemy wyznaczyć długość boku podstawy:
Krok 3: Obliczenie objętości ostrosłupa.
Objętość ostrosłupa można wyznaczyć ze wzoru:
gdzie to pole podstawy, a to wysokość ostrosłupa.
Pole podstawy to pole kwadratu o boku cm, więc:
Wysokość wynosi cm, więc:
Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich czterech trójkątów równoramiennych o podstawie i wysokości :
Podsumowując, objętość ostrosłupa wynosi cm, a pole powierzchni bocznej wynosi cm.
Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.
Zarejestruj się