Kwantowanie orbit w modelu atomu Bohra: badanie promieni orbit elektronu.

To zadanie odnosi się do modelu atomu Bohra, w którym elektron może poruszać się po określonych orbitach wokół jądra atomowego. Każda z tych orbit jest związana z określonym poziomem energii. W modelu Bohra orbity te są skwantowane, co oznacza, że elektron może znajdować się tylko na określonych, dozwolonych orbitach.

Według modelu Bohra, promienie dozwolonych orbit elektronu są opisane wzorem: $$r_n = n^2 \cdot r_0$$ gdzie $r_n$ to promień $n$-tej orbity, $n$ to główna liczba kwantowa (liczba naturalna), a $r_0$ to promień pierwszej orbity (najmniejszej).

Zadanie pyta, czy elektron może poruszać się po orbicie, której promień jest pięciokrotnie większy lub 25-krotnie większy od promienia minimalnego. Minimalny promień odpowiada pierwszej orbicie, czyli $r_0$.

Jeśli promień jest pięciokrotnie większy, to szukamy takiej liczby $n$, dla której spełniony jest warunek: $$5r_0 = n^2 \cdot r_0$$ Dzieląc obie strony równania przez $r_0$, otrzymujemy: $$5 = n^2$$ Pierwiastkujemy obie strony równania, aby znaleźć $n$: $$\sqrt{5} = n$$ Ponieważ $n$ musi być liczbą naturalną, a $\sqrt{5}$ nie jest liczbą naturalną, nie istnieje taka dozwolona orbita, która miałaby promień pięciokrotnie większy od minimalnego promienia.

Jeżeli chodzi o orbitę o promieniu 25-krotnie większym, postępujemy podobnie: $$25r_0 = n^2 \cdot r_0$$ Dzieląc obie strony równania przez $r_0$, otrzymujemy: $$25 = n^2$$ Ponownie pierwiastkujemy obie strony równania, aby znaleźć $n$: $$5 = n$$ W tym przypadku otrzymujemy liczbę naturalną, co oznacza, że istnieje orbita, na której elektron może się poruszać, a jej promień jest 25-krotnie większy od promienia minimalnego.

Podsumowując, elektron nie może poruszać się po orbicie o promieniu pięciokrotnie większym od minimalnego, ale może poruszać się po orbicie o promieniu 25-krotnie większym od minimalnego. Wynika to z kwantowania orbit w modelu Bohra.