Znajdowanie punktu przecięcia prostej z parabolą i symetralnej odcinka z osią symetrii paraboli.

Dodano: 11.12.2023 14:33:49

Rozwiązanie

Rozwiążemy to zadanie krok po kroku.

Krok 1: Znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą

Zadanie polega na znalezieniu punktów przecięcia prostej y=x6y = x - 6 z parabolą y=x2+6x10y = -x^2 + 6x - 10. Aby to zrobić, musimy rozwiązać układ równań złożony z tych dwóch równań:

{y=x2+6x10y=x6\begin{cases} y = -x^2 + 6x - 10 \\ y = x - 6 \end{cases}

Możemy podstawić drugie równanie do pierwszego:

x6=x2+6x10x - 6 = -x^2 + 6x - 10

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, aby ułatwić rozwiązanie równania kwadratowego:

x25x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0

Teraz możemy zastosować wzory na pierwiastki równania kwadratowego:

x1,2=b±b24ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

gdzie a=1a = 1, b=5b = -5 i c=4c = 4. Obliczmy pierwiastki:

Δ=b24ac=(5)2414=2516=9\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9

Δ=9=3\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3

x1=(5)321=532=22=1x_1 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

x2=(5)+321=5+32=82=4x_2 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4

Mamy więc dwa rozwiązania dla xx: x1=1x_1 = 1 oraz x2=4x_2 = 4. Teraz możemy obliczyć odpowiadające im wartości yy korzystając z równania prostej y=x6y = x - 6:

y1=x16=16=5y_1 = x_1 - 6 = 1 - 6 = -5

y2=x26=46=2y_2 = x_2 - 6 = 4 - 6 = -2

Zatem punkty przecięcia to P(1,5)P(1, -5) i Q(4,2)Q(4, -2).

Krok 2: Znalezienie punktu przecięcia symetralnej odcinka PQ z osią symetrii paraboli

Symetralna odcinka PQ to prosta, która przechodzi przez środek odcinka PQ i jest prostopadła do niego. Środek odcinka PQ znajdziemy, korzystając ze wzoru na środek odcinka:

S=(xP+xQ2,yP+yQ2)S = \left(\frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}\right)

Podstawiając wartości punktów P i Q, otrzymujemy:

S=(1+42,522)=(52,72)=(2.5,3.5)S = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{-5 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{-7}{2}\right) = (2.5, -3.5)

Oś symetrii paraboli y=x2+6x10y = -x^2 + 6x - 10 to pionowa linia przechodząca przez wierzchołek paraboli. Współrzędna x wierzchołka paraboli dana jest wzorem xw=b2ax_w = -\frac{b}{2a}. W naszym przypadku a=1a = -1 i b=6b = 6, więc:

xw=62(1)=62=3x_w = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3

Oś symetrii paraboli to więc linia pionowa x=3x = 3.

Ponieważ symetralna odcinka PQ jest prostopadła do odcinka PQ i przechodzi przez jego środek, a oś symetrii paraboli jest pionowa, to punkt przecięcia symetralnej odcinka PQ z osią symetrii paraboli ma tę samą współrzędną x co wierzchołek paraboli, czyli x=3x = 3. Współrzędna y tego punktu przecięcia jest taka sama jak współrzędna y środka odcinka PQ, co daje nam punkt przecięcia (3,3.5)(3, -3.5).

Podsumowując, punkt, w którym symetralna odcinka PQ przecina oś symetrii paraboli, to (3,3.5)(3, -3.5).

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się