Znajdowanie punktu przecięcia prostej z parabolą i symetralnej odcinka z osią symetrii paraboli.

Rozwiążemy to zadanie krok po kroku.

Krok 1: Znalezienie punktów przecięcia prostej z parabolą

Zadanie polega na znalezieniu punktów przecięcia prostej $y = x - 6$ z parabolą $y = -x^2 + 6x - 10$. Aby to zrobić, musimy rozwiązać układ równań złożony z tych dwóch równań:

$$\begin{cases} y = -x^2 + 6x - 10 \\ y = x - 6 \end{cases}$$

Możemy podstawić drugie równanie do pierwszego:

$$x - 6 = -x^2 + 6x - 10$$

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania, aby ułatwić rozwiązanie równania kwadratowego:

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Teraz możemy zastosować wzory na pierwiastki równania kwadratowego:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

gdzie $a = 1$, $b = -5$ i $c = 4$. Obliczmy pierwiastki:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3$$

$$x_1 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Mamy więc dwa rozwiązania dla $x$: $x_1 = 1$ oraz $x_2 = 4$. Teraz możemy obliczyć odpowiadające im wartości $y$ korzystając z równania prostej $y = x - 6$:

$$y_1 = x_1 - 6 = 1 - 6 = -5$$

$$y_2 = x_2 - 6 = 4 - 6 = -2$$

Zatem punkty przecięcia to $P(1, -5)$ i $Q(4, -2)$.

Krok 2: Znalezienie punktu przecięcia symetralnej odcinka PQ z osią symetrii paraboli

Symetralna odcinka PQ to prosta, która przechodzi przez środek odcinka PQ i jest prostopadła do niego. Środek odcinka PQ znajdziemy, korzystając ze wzoru na środek odcinka:

$$S = \left(\frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}\right)$$

Podstawiając wartości punktów P i Q, otrzymujemy:

$$S = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{-5 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{-7}{2}\right) = (2.5, -3.5)$$

Oś symetrii paraboli $y = -x^2 + 6x - 10$ to pionowa linia przechodząca przez wierzchołek paraboli. Współrzędna x wierzchołka paraboli dana jest wzorem $x_w = -\frac{b}{2a}$. W naszym przypadku $a = -1$ i $b = 6$, więc:

$$x_w = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Oś symetrii paraboli to więc linia pionowa $x = 3$.

Ponieważ symetralna odcinka PQ jest prostopadła do odcinka PQ i przechodzi przez jego środek, a oś symetrii paraboli jest pionowa, to punkt przecięcia symetralnej odcinka PQ z osią symetrii paraboli ma tę samą współrzędną x co wierzchołek paraboli, czyli $x = 3$. Współrzędna y tego punktu przecięcia jest taka sama jak współrzędna y środka odcinka PQ, co daje nam punkt przecięcia $(3, -3.5)$.

Podsumowując, punkt, w którym symetralna odcinka PQ przecina oś symetrii paraboli, to $(3, -3.5)$.