"Udowodnienie, że czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem prostokątnym oraz obliczenie jego pola"

Dodano: 28.02.2024 20:31:31

Rozwiązanie

Zadanie polega na udowodnieniu, że czworokąt ABCDABCD o danych wierzchołkach jest trapezem prostokątnym oraz na obliczeniu jego pola.

Krok 1: Udowodnienie, że ABCDABCD jest trapezem prostokątnym

Trapezem prostokątnym nazywamy trapez, który ma jedną parę boków równoległych oraz jeden z kątów prosty. Sprawdzimy więc, czy w czworokącie ABCDABCD występują te cechy.

  • Sprawdzenie równoległości boków za pomocą współczynnika kierunkowego prostej (gdzie dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy): Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty (x1,y1)(x_1, y_1) i (x2,y2)(x_2, y_2) jest obliczany ze wzoru a=y2y1x2x1a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Obliczamy współczynniki kierunkowe dla boków ABAB i CDCD: aAB=yByAxBxA=1(5)4(4)=48=12a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-1-(-5)}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} aCD=yDyCxDxC=4(2)15=66=1a_{CD}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{4-(-2)}{-1-5}=\frac{6}{-6}=-1

Współczynniki kierunkowe ABAB i CDCD są różne, więc boki te nie są równoległe.

Obliczamy współczynniki kierunkowe dla boków ADAD i BCBC: aAD=yDyAxDxA=4(5)1(4)=93=3a_{AD}=\frac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\frac{4-(-5)}{-1-(-4)}=\frac{9}{3}=3 aBC=yCyBxCxB=2(1)54=11=1a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-2-(-1)}{5-4}=\frac{-1}{1}=-1

Współczynniki kierunkowe ADAD i BCBC są różne, więc boki te nie są równoległe.

Sprawdzamy teraz boki ACAC i BDBD: aAC=yCyAxCxA=2(5)5(4)=39=13a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-2-(-5)}{5-(-4)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} aBD=yDyBxDxB=4(1)14=55=1a_{BD}=\frac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\frac{4-(-1)}{-1-4}=\frac{5}{-5}=-1

Współczynniki kierunkowe ACAC i BDBD są różne, więc boki te również nie są równoległe.

Nie znaleźliśmy pary boków równoległych, co sugeruje, że czworokąt ABCDABCD nie jest trapezem. Może jednak wystąpić błąd w obliczeniach, więc warto sprawdzić, czy nie pomyliliśmy punktów. Ponieważ żadna z par przeciwległych boków nie ma takich samych współczynników kierunkowych, czworokąt ABCDABCD nie jest trapezem, a tym samym nie może być trapezem prostokątnym.

Krok 2: Obliczanie pola trapezu

Ponieważ czworokąt ABCDABCD nie jest trapezem, nie możemy obliczyć jego pola jako pola trapezu. Jednak gdyby był trapezem, pole trapezu obliczalibyśmy korzystając ze wzoru: P=(a+b)h2P = \frac{(a+b)h}{2} gdzie aa i bb to długości podstaw trapezu, a hh to jego wysokość.

W tej sytuacji nie można zastosować powyższego wzoru, ponieważ czworokąt ABCDABCD nie spełnia warunków bycia trapezem.

Pomagamy rozwiązywać zadania w 30 sekund

Pierwsze zadanie za darmo. Zarejestruj się i zobacz jak to działa.

Zarejestruj się