"Udowodnienie, że czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem prostokątnym oraz obliczenie jego pola"

Zadanie polega na udowodnieniu, że czworokąt $ABCD$ o danych wierzchołkach jest trapezem prostokątnym oraz na obliczeniu jego pola.

Krok 1: Udowodnienie, że $ABCD$ jest trapezem prostokątnym

Trapezem prostokątnym nazywamy trapez, który ma jedną parę boków równoległych oraz jeden z kątów prosty. Sprawdzimy więc, czy w czworokącie $ABCD$ występują te cechy.

• Sprawdzenie równoległości boków za pomocą współczynnika kierunkowego prostej (gdzie dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy): Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ jest obliczany ze wzoru $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Obliczamy współczynniki kierunkowe dla boków $AB$ i $CD$: $$a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-1-(-5)}{4-(-4)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$ $$a_{CD}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{4-(-2)}{-1-5}=\frac{6}{-6}=-1$$

Współczynniki kierunkowe $AB$ i $CD$ są różne, więc boki te nie są równoległe.

Obliczamy współczynniki kierunkowe dla boków $AD$ i $BC$: $$a_{AD}=\frac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\frac{4-(-5)}{-1-(-4)}=\frac{9}{3}=3$$ $$a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-2-(-1)}{5-4}=\frac{-1}{1}=-1$$

Współczynniki kierunkowe $AD$ i $BC$ są różne, więc boki te nie są równoległe.

Sprawdzamy teraz boki $AC$ i $BD$: $$a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-2-(-5)}{5-(-4)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$ $$a_{BD}=\frac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\frac{4-(-1)}{-1-4}=\frac{5}{-5}=-1$$

Współczynniki kierunkowe $AC$ i $BD$ są różne, więc boki te również nie są równoległe.

Nie znaleźliśmy pary boków równoległych, co sugeruje, że czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem. Może jednak wystąpić błąd w obliczeniach, więc warto sprawdzić, czy nie pomyliliśmy punktów. Ponieważ żadna z par przeciwległych boków nie ma takich samych współczynników kierunkowych, czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem, a tym samym nie może być trapezem prostokątnym.

Krok 2: Obliczanie pola trapezu

Ponieważ czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem, nie możemy obliczyć jego pola jako pola trapezu. Jednak gdyby był trapezem, pole trapezu obliczalibyśmy korzystając ze wzoru: $$P = \frac{(a+b)h}{2}$$ gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw trapezu, a $h$ to jego wysokość.

W tej sytuacji nie można zastosować powyższego wzoru, ponieważ czworokąt $ABCD$ nie spełnia warunków bycia trapezem.