Rozwiązanie równań kwadratowych - analiza przypadków $3x^2 + 6x = 0$ i $7x - 3x^2 = 0$

Oczywiście, zajmiemy się rozwiązaniem obu równań kwadratowych z treści zadania. Zacznijmy od pierwszego równania:

a) $3x^2 + 6x = 0$

Aby znaleźć zbiór rozwiązań tego równania, możemy wykorzystać fakt, że jest to równanie kwadratowe, w którym możemy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:

$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2) = 0$$

Teraz, aby iloczyn dwóch czynników był równy zero, przynajmniej jeden z nich musi być równy zero. Rozwiązujemy więc dwa równania:

$$\begin{aligned} 3x &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ x + 2 &= 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \end{aligned}$$

Zatem zbiorem rozwiązań równania $3x^2 + 6x = 0$ jest $\{0, -2\}$.

Przejdźmy teraz do równania drugiego:

b) $7x - 3x^2 = 0$

Podobnie jak w pierwszym przypadku, wyłączymy wspólny czynnik, tym razem $x$, przed nawias:

$$7x - 3x^2 = x(7 - 3x) = 0$$

Ponownie, aby iloczyn był równy zero, musi zachodzić, że przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:

$$\begin{aligned} x &= 0 \\ 7 - 3x &= 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{3} \end{aligned}$$

Zatem zbiorem rozwiązań równania $7x - 3x^2 = 0$ jest $\left\{0, \frac{7}{3}\right\}$.